Use a definição de limite e soma para calcular o deslocamento entre
e
a partir da expressão da velocidade, isto é, calcule
para as seguintes expressões de
:
(onde
é uma constante com unidade de
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o deslocamento entre dois instantes de tempo, $ t_1 $ e $ t_2 $, usando a definição de limite e soma. Basicamente, vamos usar conceitos de cálculo, como limites e somas de Riemann, que são fundamentos para entender integrais. Precisamos entender como somar infinitos pequenos pedaços de velocidade ao longo do tempo para encontrar o deslocamento total quando o número de pedaços tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada parte da expressão representa. A expressão que queremos calcular é:
Aqui, $ N $ é o número de subdivisões do intervalo de tempo entre $ t_1 $ e $ t_2 $. À medida que $ N $ aumenta, cada pedaço de tempo $ \Delta t $ fica cada vez menor. $ v(t_i) $ é a velocidade no instante $ t_i $, e a soma serve para adicionar todos esses pequenos deslocamentos.
Passo 3
No nosso caso, a velocidade $ v(t) $ é constante, ou seja, $ v(t) = v_0 $, onde $ v_0 $ é uma constante. Isso simplifica bastante a soma, já que a velocidade não muda com o tempo. Então, substituindo $ v(t_i) $ por $ v_0 $, temos:
Passo 4
Como $ v_0 $ é constante, podemos tirá-lo da soma:
Agora, observamos que $ \sum_{i=1}^{N} \Delta t $ é simplesmente o total do intervalo de tempo, que vai de $ t_1 $ a $ t_2 $. Portanto, essa soma é igual a $ t_2 - t_1 $:
Resposta
O deslocamento entre $ t_1 $ e $ t_2 $ é $ v_0 (t_2 - t_1) $.