Sejam n um inteiro positivo. Calcule
\lim _{z \rightarrow z_{0}} \frac{1}{z^{n}} \quad\left(z_{0} \neq 0\right);

Passo 1

O enunciado pede o limite da função
f(z)=\frac{1}{z^{n}}
quando z tende a um ponto z_{0}\neq0. O conteúdo é continuidade de funções elementares no plano complexo.

Passo 2

Considere primeiro a função
h(z)=z^{n}.
Por ser um polinômio em z, h é contínua em todo \mathbb{C}. Logo
\lim_{z\to z_{0}}h(z)=h(z_{0})=z_{0}^{n}.

Passo 3

Em seguida, considere a função
m(w)=\frac{1}{w}.
Essa função é contínua para todo w\neq0. Como aqui w\to w_{0}=z_{0}^{n}\neq0, temos
\lim_{w\to w_{0}}m(w)=\frac{1}{w_{0}}=\frac{1}{z_{0}^{n}}.

Passo 4

A função original é a composição f=m\circ h. Pelo teorema da composição de limites,
\lim_{z\to z_{0}}f(z) =\lim_{z\to z_{0}}m\bigl(h(z)\bigr) =m\!\bigl(\lim_{z\to z_{0}}h(z)\bigr) =\frac{1}{z_{0}^{n}}.

Resposta

\lim_{z\to z_{0}}\frac{1}{z^{n}}=\frac{1}{z_{0}^{n}}.

Exercícios relacionados