O enunciado dá a seguinte hipótese e pede uma conclusão clara.
Hipótese (peguei do enunciado): \displaystyle \lim_{z\to z_{0}} f(z)=w_{0}.
Em palavras: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|z-z_{0}|<\delta, vale |f(z)-w_{0}|<\varepsilon.
O que se quer provar: \displaystyle \lim_{z\to z_{0}}|f(z)|=\bigl|w_{0}\bigr|.
Em palavras: mostrar que os números reais |f(z)| tendem para o número real \bigl|w_{0}\bigr| quando z tende para z_{0}.
Informação útil (sugestão do enunciado): para quaisquer complexos a,b vale
\bigl||a|-|b|\bigr|\le |a-b|.
Vou usar essa desigualdade com a=f(z) e b=w_{0}.
Passo 2
Explicar e provar a desigualdade \bigl||a|-|b|\bigr|\le |a-b| (essa é a desigualdade triangular reversa, que é muito simples e importante).
Começo da prova: pela desigualdade triangular normal sabemos que, para quaisquer complexos u,v,|u+v|\le |u|+|v|.
Escolha u=a-b e v=b. Então|a|=| (a-b)+b |\le |a-b|+|b|.Daí subtraindo |b| dos dois lados obtém-se|a|-|b|\le |a-b|.
Troque os papéis de a e b e obtemos|b|-|a|\le |b-a|=|a-b|.
Com essas duas desigualdades temos -|a-b|\le |a|-|b|\le |a-b|, isto é\bigl||a|-|b|\bigr|\le |a-b|.
Conclusão: a desigualdade está provada e é válida para quaisquer a,b\in\mathbb{C}. No nosso caso específico usaremos a=f(z) e b=w_{0}.
Passo 3
Aplicar a definição \varepsilon-\delta do limite da hipótese e relacioná-la com a desigualdade do passo anterior.
Tome um \varepsilon>0 arbitrário (a ideia do limite é: “para todo \varepsilon>0 …”).
Pela hipótese \displaystyle \lim_{z\to z_{0}} f(z)=w_{0} existe um \delta>0 tal que, sempre que0<|z-z_{0}|<\delta,vale|f(z)-w_{0}|<\varepsilon.
Usando a desigualdade do passo anterior com a=f(z) e b=w_{0} obtemos\bigl||f(z)|-|w_{0}|\bigr|\le |f(z)-w_{0}|.
Compor os dois fatos: se 0<|z-z_{0}|<\delta então |f(z)-w_{0}|<\varepsilon, logo\bigl||f(z)|-|w_{0}|\bigr|\le |f(z)-w_{0}|<\varepsilon.
Passo 4
Concluir a prova no formato \varepsilon-\delta e interpretar o resultado.
O que mostramos: para o \varepsilon>0 escolhido existe o mesmo \delta>0 da hipótese tal que, sempre que 0<|z-z_{0}|<\delta,
\bigl||f(z)|-|w_{0}|\bigr|<\varepsilon.
Isso é exatamente a definição de \displaystyle \lim_{z\to z_{0}}|f(z)|=\bigl|w_{0}\bigr|. Portanto a conclusão segue imediatamente.
Observação intuitiva (rápida e amiga): a função módulo z\mapsto |z| é contínua, e a composição de uma função que tende a w_{0} com uma função contínua tende ao valor da composição, que aqui é |w_{0}|. A prova acima mostra isso de forma elementar usando \varepsilon-\delta.