Use a definição de limites (2) da Seção 15 para provar que
\text { se } \quad \lim _{z \rightarrow z_{0}} f(z)=w_{0}, \text { então } \quad \lim _{z \rightarrow z_{0}}|f(z)|=\left|w_{0}\right| \text {. }ã
Sugestão: observe como a desigualdade (2) da Seção 5 nos permite escrever
\| f(z)\left|-\left|w_{0}\right|\right| \leq\left|f(z)-w_{0}\right| .

Passo 1

O enunciado dá a seguinte hipótese e pede uma conclusão clara.
  • Hipótese (peguei do enunciado): \displaystyle \lim_{z\to z_{0}} f(z)=w_{0}.
    Em palavras: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|z-z_{0}|<\delta, vale |f(z)-w_{0}|<\varepsilon.
  • O que se quer provar: \displaystyle \lim_{z\to z_{0}}|f(z)|=\bigl|w_{0}\bigr|.
    Em palavras: mostrar que os números reais |f(z)| tendem para o número real \bigl|w_{0}\bigr| quando z tende para z_{0}.
  • Informação útil (sugestão do enunciado): para quaisquer complexos a,b vale
    \bigl||a|-|b|\bigr|\le |a-b|.
    Vou usar essa desigualdade com a=f(z) e b=w_{0}.

Passo 2

Explicar e provar a desigualdade \bigl||a|-|b|\bigr|\le |a-b| (essa é a desigualdade triangular reversa, que é muito simples e importante).
  • Começo da prova: pela desigualdade triangular normal sabemos que, para quaisquer complexos u,v, |u+v|\le |u|+|v|.
  • Escolha u=a-b e v=b. Então |a|=| (a-b)+b |\le |a-b|+|b|.Daí subtraindo |b| dos dois lados obtém-se |a|-|b|\le |a-b|.
  • Troque os papéis de a e b e obtemos |b|-|a|\le |b-a|=|a-b|.
  • Com essas duas desigualdades temos -|a-b|\le |a|-|b|\le |a-b|, isto é \bigl||a|-|b|\bigr|\le |a-b|.
  • Conclusão: a desigualdade está provada e é válida para quaisquer a,b\in\mathbb{C}. No nosso caso específico usaremos a=f(z) e b=w_{0}.

Passo 3

Aplicar a definição \varepsilon- \delta do limite da hipótese e relacioná-la com a desigualdade do passo anterior.
  • Tome um \varepsilon>0 arbitrário (a ideia do limite é: “para todo \varepsilon>0 …”).
  • Pela hipótese \displaystyle \lim_{z\to z_{0}} f(z)=w_{0} existe um \delta>0 tal que, sempre que 0<|z-z_{0}|<\delta,vale |f(z)-w_{0}|<\varepsilon.
  • Usando a desigualdade do passo anterior com a=f(z) e b=w_{0} obtemos \bigl||f(z)|-|w_{0}|\bigr|\le |f(z)-w_{0}|.
  • Compor os dois fatos: se 0<|z-z_{0}|<\delta então |f(z)-w_{0}|<\varepsilon, logo \bigl||f(z)|-|w_{0}|\bigr|\le |f(z)-w_{0}|<\varepsilon.

Passo 4

Concluir a prova no formato \varepsilon- \delta e interpretar o resultado.
  • O que mostramos: para o \varepsilon>0 escolhido existe o mesmo \delta>0 da hipótese tal que, sempre que 0<|z-z_{0}|<\delta,
    \bigl||f(z)|-|w_{0}|\bigr|<\varepsilon.
  • Isso é exatamente a definição de \displaystyle \lim_{z\to z_{0}}|f(z)|=\bigl|w_{0}\bigr|. Portanto a conclusão segue imediatamente.
  • Observação intuitiva (rápida e amiga): a função módulo z\mapsto |z| é contínua, e a composição de uma função que tende a w_{0} com uma função contínua tende ao valor da composição, que aqui é |w_{0}|. A prova acima mostra isso de forma elementar usando \varepsilon- \delta.

Resposta

\displaystyle \lim_{z\to z_{0}}|f(z)|=\bigl|w_{0}\bigr|

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