Descreva o dominio subentendido de cada uma das funções dadas a seguir.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para descrever o domínio subentendido dessa função. As informações relevantes que temos são:
- A expressão algébrica da função é
. - Não foi especificado se a variável
é real ou complexa, portanto devo considerar as duas interpretações possíveis (reais ou complexos).
Passo 2
O que é o domínio subentendido? Vou explicar de forma bem prática: o domínio de uma expressão racional é o conjunto de valores de entrada para os quais a expressão está bem definida. Uma regra simples e crucial que sempre usamos é:
- Não se pode dividir por zero: qualquer valor que torne o denominador igual a zero precisa ser excluído do domínio.
Passo 3
Identificar o denominador e encontrar quando ele é zero. Aqui o denominador é
Podemos simplificar isso:
Então o denominador é
. O denominador é zero exatamente quando
Portanto o único valor proibido (que faz denominador zero) é
.
Passo 4
Ver o que acontece quando podemos simplificar. Para
podemos cancelar
no numerador e no denominador:
A parte importante de didática aqui: a simplificação algebraica para
é válida somente para
, porque a operação de "cancelar
" pressupõe que
não seja zero. Mesmo que a forma simplificada seja a constante
, a expressão original não está definida em
. Em terminologia mais avançada,
é uma singularidade removível da função original: ao definir a função estendida com valor
em
obtém-se uma continuação, mas a expressão dada originalmente não inclui esse ponto.
Passo 5
Um exemplo análogo, para fixar a ideia: considere
Algebricamente
para
. Contudo o domínio de
(na forma original) é todos os
exceto
, porque em
o denominador é zero. Mesmo que a forma simplificada seja
, não se pode incluir
a menos que se faça a extensão explícita.
Passo 6
Conclusão prática sobre o domínio subentendido da função dada:
- Se a variável
é complexa, o domínio subentendido é todos os complexos exceto : . - Se a variável
é real, o domínio subentendido é todos os reais exceto : .