Descreva o dominio subentendido de cada uma das funções dadas a seguir.
f(z)=\frac{z}{z+z}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(z)=\frac{z}{z+z}
e pede para descrever o domínio subentendido dessa função. As informações relevantes que temos são:
  • A expressão algébrica da função é \dfrac{z}{z+z}.
  • Não foi especificado se a variável z é real ou complexa, portanto devo considerar as duas interpretações possíveis (reais ou complexos).

Passo 2

O que é o domínio subentendido? Vou explicar de forma bem prática: o domínio de uma expressão racional é o conjunto de valores de entrada para os quais a expressão está bem definida. Uma regra simples e crucial que sempre usamos é:
  • Não se pode dividir por zero: qualquer valor que torne o denominador igual a zero precisa ser excluído do domínio.

Passo 3

Identificar o denominador e encontrar quando ele é zero. Aqui o denominador é
z+z.
Podemos simplificar isso:
z+z=2z.
Então o denominador é 2z. O denominador é zero exatamente quando
2z=0\quad\Longrightarrow\quad z=0.
Portanto o único valor proibido (que faz denominador zero) é z=0.

Passo 4

Ver o que acontece quando podemos simplificar. Para z\neq 0 podemos cancelar z no numerador e no denominador:
\frac{z}{z+z}=\frac{z}{2z}=\frac{1}{2}\quad\text{para }z\neq 0.
A parte importante de didática aqui: a simplificação algebraica para \tfrac{1}{2} é válida somente para z\neq 0, porque a operação de "cancelar z" pressupõe que z não seja zero. Mesmo que a forma simplificada seja a constante \tfrac{1}{2}, a expressão original não está definida em z=0. Em terminologia mais avançada, z=0 é uma singularidade removível da função original: ao definir a função estendida com valor \tfrac{1}{2} em 0 obtém-se uma continuação, mas a expressão dada originalmente não inclui esse ponto.

Passo 5

Um exemplo análogo, para fixar a ideia: considere
g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}.
Algebricamente g(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1 para x\neq 1. Contudo o domínio de g (na forma original) é todos os x exceto x=1, porque em x=1 o denominador é zero. Mesmo que a forma simplificada seja x+1, não se pode incluir x=1 a menos que se faça a extensão explícita.

Passo 6

Conclusão prática sobre o domínio subentendido da função dada:
  • Se a variável z é complexa, o domínio subentendido é todos os complexos exceto 0: \mathbb{C}\setminus\{0\}.
  • Se a variável z é real, o domínio subentendido é todos os reais exceto 0: \mathbb{R}\setminus\{0\}.

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=\{\,z\in\mathbb{C}\mid z\neq 0\,\} (se z for complexo)
\mathrm{Dom}(f)=\{\,z\in\mathbb{R}\mid z\neq 0\,\} (se z for real)

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