1.8* (a) Use a definição (1.7) para mostrar que o produto escalar é distributivo, isto é, \mathbf{r} \cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\mathbf{r} \cdot \mathbf{u}+\mathbf{r} \cdot \mathbf{v}. (b) Se res são vetores que dependem do tempo, mostre que a regra do produto para derivação de produtos se aplica a \mathbf{r} \cdot \mathbf{s}, ou seja, que
\frac{d}{d t}(\mathbf{r} \cdot \mathbf{s})=\mathbf{r} \cdot \frac{d \mathbf{s}}{d t}+\frac{d \mathbf{r}}{d t} \cdot \mathbf{s}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas separadas:
(a) Mostrar, usando a definição (1.7) do produto escalar, que o produto escalar é distributivo, isto é,
\mathbf{r}\cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\mathbf{r}\cdot\mathbf{u}+\mathbf{r}\cdot\mathbf{v}.
(b) Supondo que \mathbf{r} e \mathbf{s} são vetores que dependem do tempo t, mostrar que a regra do produto para derivadas vale para o produto escalar, isto é,
\frac{d}{dt}(\mathbf{r}\cdot\mathbf{s})=\mathbf{r}\cdot\frac{d\mathbf{s}}{dt}+\frac{d\mathbf{r}}{dt}\cdot\mathbf{s}.
Informações dadas (implícitas na definição 1.7): o produto escalar é definido componente a componente. Podemos escrever os vetores em componentes (vou usar 3 componentes por clareza, mas o argumento vale para n componentes):
\mathbf{r}=(r_1,r_2,r_3),\quad \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3),\quad \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3),
e, para a parte (b),
\mathbf{r}(t)=(r_1(t),r_2(t),r_3(t)),\quad \mathbf{s}(t)=(s_1(t),s_2(t),s_3(t)).

Passo 2

Lembrando a definição componente a componente do produto escalar (definição 1.7): para dois vetores \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) tem-se
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Aqui cada a_i e b_i é um número real; usamos as propriedades usuais dos números reais (associatividade, comutatividade e, especialmente, distributividade da multiplicação sobre a adição). Vou aplicar essa definição passo a passo para provar (a).

Passo 3

Calcule \mathbf{r}\cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v}) componente a componente. Primeiro escrevemos \mathbf{u}+\mathbf{v}:
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;u_3+v_3).
Agora aplicamos a definição do produto escalar:
\mathbf{r}\cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v})=r_1(u_1+v_1)+r_2(u_2+v_2)+r_3(u_3+v_3).
Usando a distributividade dos números reais (ou seja, r_i(u_i+v_i)=r_i u_i + r_i v_i para cada i), obtemos
\mathbf{r}\cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v})=(r_1u_1+r_1v_1)+(r_2u_2+r_2v_2)+(r_3u_3+r_3v_3).
Agrupando os termos correspondentes:
\mathbf{r}\cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v})=(r_1u_1+r_2u_2+r_3u_3)+(r_1v_1+r_2v_2+r_3v_3).
Pelo lado direito da definição isso é exatamente
\mathbf{r}\cdot\mathbf{u}+\mathbf{r}\cdot\mathbf{v}.
Portanto a distributividade está demonstrada.
Comentário didático rápido: o que fizemos foi usar que o produto escalar é só uma soma de produtos escalares entre componentes; como a multiplicação real distribui sobre a soma, a propriedade segue automaticamente. Isso vale em qualquer dimensão n: a contagem só tem mais termos.

Passo 4

Agora a parte (b): mostrar a regra do produto para derivada do produto escalar. Escrevemos os vetores dependentes do tempo em componentes:
\mathbf{r}(t)=(r_1(t),r_2(t),r_3(t)),\qquad \mathbf{s}(t)=(s_1(t),s_2(t),s_3(t)).
O produto escalar é
\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{s}(t)=r_1(t)s_1(t)+r_2(t)s_2(t)+r_3(t)s_3(t).
Queremos diferenciar em relação a t. Usamos duas propriedades de derivadas de funções reais: (i) a derivada é linear (a derivada de soma é soma das derivadas), e (ii) a regra do produto para funções reais, que diz \frac{d}{dt}(f(t)g(t))=f'(t)g(t)+f(t)g'(t). Aplicando primeiro a linearidade:
\frac{d}{dt}\big(\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}\big) =\frac{d}{dt}\big(r_1s_1\big)+\frac{d}{dt}\big(r_2s_2\big)+\frac{d}{dt}\big(r_3s_3\big).
Agora aplicamos a regra do produto a cada termo \frac{d}{dt}\big(r_i s_i\big)=\frac{dr_i}{dt}s_i + r_i\frac{ds_i}{dt}. Assim
\frac{d}{dt}\big(\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}\big) =\left(\frac{dr_1}{dt}s_1 + r_1\frac{ds_1}{dt}\right) +\left(\frac{dr_2}{dt}s_2 + r_2\frac{ds_2}{dt}\right) +\left(\frac{dr_3}{dt}s_3 + r_3\frac{ds_3}{dt}\right).
Reagrupando os termos que têm derivadas de \mathbf{r} e os que têm derivadas de \mathbf{s},
\frac{d}{dt}\big(\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}\big) =\left(\frac{dr_1}{dt}s_1+\frac{dr_2}{dt}s_2+\frac{dr_3}{dt}s_3\right) +\left(r_1\frac{ds_1}{dt}+r_2\frac{ds_2}{dt}+r_3\frac{ds_3}{dt}\right).
Pelo significado de produto escalar isso é
\frac{d}{dt}\big(\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}\big) =\frac{d\mathbf{r}}{dt}\cdot\mathbf{s}+\mathbf{r}\cdot\frac{d\mathbf{s}}{dt}.
Note que troquei a ordem dos termos no final para coincidir com a forma pedida; como a soma é comutativa, a forma dada no enunciado
\frac{d}{dt}(\mathbf{r}\cdot\mathbf{s})=\mathbf{r}\cdot\frac{d\mathbf{s}}{dt}+\frac{d\mathbf{r}}{dt}\cdot\mathbf{s}
é equivalente ao que acabamos de obter.
Comentário didático: a prova é peça por peça: o produto escalar vira soma de produtos escalares entre componentes (escalares), para cada um aplicamos a regra do produto de funções reais, e depois somamos. Não usamos propriedades vetoriais avançadas além da definição componente a componente e regras usuais de cálculo.

Passo 5

Um exemplo numérico rápido para fixar: seja \mathbf{r}(t)=(t,t^2,t^3) e \mathbf{s}(t)=(1,2t,3t^2). Então
\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}=t\cdot1 + t^2\cdot 2t + t^3\cdot 3t^2 = t + 2t^3 + 3t^5.
Diferenciando diretamente:
\frac{d}{dt}(\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}) = 1 + 6t^2 + 15t^4.
Agora calcule os termos da regra do produto:
\frac{d\mathbf{r}}{dt}=(1,2t,3t^2),\quad \frac{d\mathbf{s}}{dt}=(0,2,6t).
Então
\mathbf{r}\cdot\frac{d\mathbf{s}}{dt} = t\cdot0 + t^2\cdot 2 + t^3\cdot 6t = 2t^2 + 6t^4,
\frac{d\mathbf{r}}{dt}\cdot\mathbf{s} = 1\cdot1 + 2t\cdot 2t + 3t^2\cdot 3t^2 = 1 + 4t^2 + 9t^4.
Somando:
\mathbf{r}\cdot\frac{d\mathbf{s}}{dt} + \frac{d\mathbf{r}}{dt}\cdot\mathbf{s} = (2t^2+6t^4)+(1+4t^2+9t^4)=1+6t^2+15t^4,
que coincide com a derivada direta. Isso ajuda a ver que a identidade funciona na prática.

Resposta

(a) \mathbf{r}\cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\mathbf{r}\cdot\mathbf{u}+\mathbf{r}\cdot\mathbf{v}.\n(b) \displaystyle \frac{d}{dt}(\mathbf{r}\cdot\mathbf{s})=\mathbf{r}\cdot\frac{d\mathbf{s}}{dt}+\frac{d\mathbf{r}}{dt}\cdot\mathbf{s}.

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