1.4* Um dos muitos usos do produto escalar é na determinação do ângulo entre dois vetores dados. Determine o ângulo entre os vetores \mathbf{b}=(1,2,4) \mathbf{e} \mathbf{c}=(4,2,1) através do cálculo do produto escalar entre eles.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o ângulo entre os vetores \mathbf{b} e \mathbf{c}. Informações dadas:
\mathbf{b} = (1,2,4) e \mathbf{c} = (4,2,1).
A pergunta é: qual é o ângulo entre \mathbf{b} e \mathbf{c}?

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado devagarzinho): o produto escalar (ou “dot product”) de dois vetores em \mathbb{R}^3 é definido como a soma dos produtos das componentes correspondentes. Se \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3), então
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Outra coisa importante é o comprimento (norma) de um vetor: a norma de \mathbf{u} é
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.
Essas duas definições juntam-se numa fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo \theta entre os vetores:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\cos\theta.
Aqui \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v} com 0\le\theta\le\pi. Então, para obter \theta isolamos \cos\theta:
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|},
e depois fazemos \theta=\operatorname{arccos}(\cdot). Não se assuste com \operatorname{arccos}: é a função inversa do cosseno.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar \mathbf{b}\cdot\mathbf{c} aplicando a definição componente a componente. Como \mathbf{b}=(1,2,4) e \mathbf{c}=(4,2,1),
\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=1\cdot4+2\cdot2+4\cdot1.
Agora fazemos as multiplicações e soma passo a passo:
1\cdot4=4,\quad 2\cdot2=4,\quad 4\cdot1=4,
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\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=4+4+4=12.

Passo 4

Agora calculamos as normas de \mathbf{b} e de \mathbf{c}.
Para \mathbf{b}=(1,2,4):
\|\mathbf{b}\|=\sqrt{1^2+2^2+4^2}=\sqrt{1+4+16}=\sqrt{21}.
Para \mathbf{c}=(4,2,1):
\|\mathbf{c}\|=\sqrt{4^2+2^2+1^2}=\sqrt{16+4+1}=\sqrt{21}.
Observação útil: ambos têm a mesma norma \sqrt{21}, o que simplifica contas depois.

Passo 5

Aplicamos a fórmula do cosseno do ângulo usando o produto escalar:
\cos\theta=\frac{\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}}{\|\mathbf{b}\|\,\|\mathbf{c}\|}.
Substituindo os valores que já encontramos:
\cos\theta=\frac{12}{\sqrt{21}\,\sqrt{21}}=\frac{12}{21}.
Simplificando a fração \dfrac{12}{21} dividindo numerador e denominador por 3,
\cos\theta=\frac{4}{7}.

Passo 6

Agora isolamos \theta aplicando a função inversa \operatorname{arccos}:
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{4}{7}\right).
Isso é a resposta exata em termos de \operatorname{arccos}. Para uma resposta numérica, calculamos a aproximação. Usando a tabela ou calculadora para \operatorname{arccos}(4/7) obtemos (aproximação)
\theta\approx 0,9624\\ \text{rad}\quad\text{ou}\quad \theta\approx 55,15^\circ.
Lembrete prático para prova: se não pedirem precisão extra, \theta=\operatorname{arccos}(4/7) já é plenamente aceitável; se pedirem em graus, dê aproximadamente 55,15^\circ.

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{4}{7}\right)\approx 0,9624\\ \text{rad}\approx 55,15^\circ

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