1.4* Um dos muitos usos do produto escalar é na determinação do ângulo entre dois vetores dados. Determine o ângulo entre os vetores
através do cálculo do produto escalar entre eles.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o ângulo entre os vetores
e
. Informações dadas:
e
.
A pergunta é: qual é o ângulo entre e
?
A pergunta é: qual é o ângulo entre
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado devagarzinho): o produto escalar (ou “dot product”) de dois vetores em
é definido como a soma dos produtos das componentes correspondentes. Se
e
, então
Outra coisa importante é o comprimento (norma) de um vetor: a norma de
é
Essas duas definições juntam-se numa fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo
entre os vetores:
Aqui
é o ângulo entre
e
com
. Então, para obter
isolamos
:
e depois fazemos
. Não se assuste com
: é a função inversa do cosseno.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
aplicando a definição componente a componente. Como
e
,
Agora fazemos as multiplicações e soma passo a passo:
logo
Passo 4
Agora calculamos as normas de
e de
.
Para
:
Para
:
Observação útil: ambos têm a mesma norma
, o que simplifica contas depois.
Passo 5
Aplicamos a fórmula do cosseno do ângulo usando o produto escalar:
Substituindo os valores que já encontramos:
Simplificando a fração
dividindo numerador e denominador por
,
Passo 6
Agora isolamos
aplicando a função inversa
:
Isso é a resposta exata em termos de
. Para uma resposta numérica, calculamos a aproximação. Usando a tabela ou calculadora para
obtemos (aproximação)
Lembrete prático para prova: se não pedirem precisão extra,
já é plenamente aceitável; se pedirem em graus, dê aproximadamente
.