1.1* Dados dois vetores \mathbf{b}=\hat{\mathbf{x}}+\hat{\mathbf{y}} e \mathbf{c}=\hat{\mathbf{x}}+\hat{\mathbf{z}}, determine \mathbf{b}+\mathbf{c}, 5 \mathbf{b}+2 \mathbf{c}, \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} \mathbf{e} \mathbf{b} \times \mathbf{c}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores e pede quatro operações com eles. Vou listar claramente o que foi dado e o que precisa ser encontrado.
Dados:
\mathbf{b}=\hat{\mathbf{x}}+\hat{\mathbf{y}}
\mathbf{c}=\hat{\mathbf{x}}+\hat{\mathbf{z}}
O que pedir:
  • Calcular \mathbf{b}+\mathbf{c}.
  • Calcular 5\mathbf{b}+2\mathbf{c}.
  • Calcular \mathbf{b}\cdot\mathbf{c}.
  • Calcular \mathbf{b}\times\mathbf{c}.

Passo 2

Primeiro, escrevemos os vetores em forma de componentes no sistema cartesiano padrão usando as direções \hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}}. Isso facilita todas as operações.
\mathbf{b} = 1\hat{\mathbf{x}} + 1\hat{\mathbf{y}} + 0\hat{\mathbf{z}}, ou seja, em componentes \mathbf{b} = (1,\,1,\,0).
\mathbf{c} = 1\hat{\mathbf{x}} + 0\hat{\mathbf{y}} + 1\hat{\mathbf{z}}, ou seja, em componentes \mathbf{c} = (1,\,0,\,1).
Explicação rápida: cada coeficiente na lista de componentes corresponde ao múltiplo da base unitária na ordem \hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}}.

Passo 3

Soma de vetores — teoria curta e aplicada: para somar dois vetores, somamos componente a componente. Se \mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z) e \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z), então
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(u_x+v_x,\;u_y+v_y,\;u_z+v_z).
Aplicando a \mathbf{b} e \mathbf{c}:
\mathbf{b}+\mathbf{c} = (1+1,\;1+0,\;0+1) = (2,\,1,\,1).
Voltando à notação com vetores unitários:
\mathbf{b}+\mathbf{c} = 2\hat{\mathbf{x}} + \hat{\mathbf{y}} + \hat{\mathbf{z}}.

Passo 4

Combinação linear (escalar × vetor) e soma — teoria curta: multiplicar um vetor por um escalar multiplica cada componente por esse escalar. Se a é escalar e \mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z), então a\mathbf{u}=(a u_x,\;a u_y,\;a u_z). Para soma de combinações, fazemos componente a componente.
Calculamos 5\mathbf{b}+2\mathbf{c}:
5\mathbf{b} = 5(1,1,0) = (5,\,5,\,0),
2\mathbf{c} = 2(1,0,1) = (2,\,0,\,2).
Somando:
5\mathbf{b}+2\mathbf{c} = (5+2,\;5+0,\;0+2) = (7,\,5,\,2).
Em notação de bases:
5\mathbf{b}+2\mathbf{c} = 7\hat{\mathbf{x}} + 5\hat{\mathbf{y}} + 2\hat{\mathbf{z}}.

Passo 5

Produto escalar (dot product) — teoria e fórmula: o produto escalar de \mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z) e \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z.
Ele também pode ser interpretado como \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre os vetores — mas aqui usamos a soma de componentes, que é direta e prática em coordenadas.
Aplicando a \mathbf{b} e \mathbf{c}:
\mathbf{b}\cdot\mathbf{c} = 1\cdot 1 + 1\cdot 0 + 0\cdot 1 = 1 + 0 + 0 = 1.
Interpretação rápida: o resultado 1 indica que eles não são ortogonais (produto 0 seria ortogonal) e o cosseno do ângulo entre eles vale \cos\theta = \dfrac{1}{\|\mathbf{b}\|\,\|\mathbf{c}\|} se precisar achar o ângulo.

Passo 6

Produto vetorial (cross product) — teoria e como calcular: o produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} dá um vetor perpendicular a ambos, com direção dada pela regra da mão direita e magnitude \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|=\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\sin\theta. Em coordenadas, usamos o determinante da matriz cujas primeiras linhas são os versores \hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}} e as próximas duas as componentes:
\mathbf{u}\times\mathbf{v} = \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\\ u_x & u_y & u_z \\\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix}.
Isso se traduz nas componentes:
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})_x = u_y v_z - u_z v_y,
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})_y = u_z v_x - u_x v_z,
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})_z = u_x v_y - u_y v_x.
Agora aplicamos a \mathbf{b}=(1,1,0) e \mathbf{c}=(1,0,1).
Calculando componente a componente:
(\mathbf{b}\times\mathbf{c})_x = 1\cdot 1 - 0\cdot 0 = 1,
(\mathbf{b}\times\mathbf{c})_y = 0\cdot 1 - 1\cdot 1 = 0 - 1 = -1,
(\mathbf{b}\times\mathbf{c})_z = 1\cdot 0 - 1\cdot 1 = 0 - 1 = -1.
Portanto,
\mathbf{b}\times\mathbf{c} = (1,\,-1,\,-1) = \hat{\mathbf{x}} - \hat{\mathbf{y}} - \hat{\mathbf{z}}.
Pequena verificação: o produto escalar de \mathbf{b}\times\mathbf{c} com \mathbf{b} deve ser zero (perpendicularidade). Checamos rapidamente:
(1,-1,-1)\cdot(1,1,0)=1\cdot1 + (-1)\cdot1 + (-1)\cdot0 = 1-1+0=0,
ok — consistente.

Resposta

\mathbf{b}+\mathbf{c}=2\hat{\mathbf{x}}+\hat{\mathbf{y}}+\hat{\mathbf{z}}
5\mathbf{b}+2\mathbf{c}=7\hat{\mathbf{x}}+5\hat{\mathbf{y}}+2\hat{\mathbf{z}}
\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=1
\mathbf{b}\times\mathbf{c}=\hat{\mathbf{x}}-\hat{\mathbf{y}}-\hat{\mathbf{z}}

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