Primeiro, escrevemos os vetores em forma de componentes no sistema cartesiano padrão usando as direções \hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}}. Isso facilita todas as operações.
\mathbf{b} = 1\hat{\mathbf{x}} + 1\hat{\mathbf{y}} + 0\hat{\mathbf{z}}, ou seja, em componentes \mathbf{b} = (1,\,1,\,0).
\mathbf{c} = 1\hat{\mathbf{x}} + 0\hat{\mathbf{y}} + 1\hat{\mathbf{z}}, ou seja, em componentes \mathbf{c} = (1,\,0,\,1).
Explicação rápida: cada coeficiente na lista de componentes corresponde ao múltiplo da base unitária na ordem \hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}}.
Passo 3
Soma de vetores — teoria curta e aplicada: para somar dois vetores, somamos componente a componente. Se \mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z) e \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z), então
Combinação linear (escalar × vetor) e soma — teoria curta: multiplicar um vetor por um escalar multiplica cada componente por esse escalar. Se a é escalar e \mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z), então a\mathbf{u}=(a u_x,\;a u_y,\;a u_z). Para soma de combinações, fazemos componente a componente.
Ele também pode ser interpretado como \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre os vetores — mas aqui usamos a soma de componentes, que é direta e prática em coordenadas.
Interpretação rápida: o resultado 1 indica que eles não são ortogonais (produto 0 seria ortogonal) e o cosseno do ângulo entre eles vale \cos\theta = \dfrac{1}{\|\mathbf{b}\|\,\|\mathbf{c}\|} se precisar achar o ângulo.
Passo 6
Produto vetorial (cross product) — teoria e como calcular: o produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} dá um vetor perpendicular a ambos, com direção dada pela regra da mão direita e magnitude \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|=\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\sin\theta. Em coordenadas, usamos o determinante da matriz cujas primeiras linhas são os versores \hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}} e as próximas duas as componentes: