Use a definição de operador linear que foi dada nesta seção para mostrar que a função T: R^2 R^2 dada pela fórmula T(x1, x2)= (x1+2 x2, 3 x1-x2) é um operador linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a função definida por é um operador linear. Para resolver isso, vamos usar a definição de operador linear, que envolve duas propriedades principais: preservação da adição de vetores e preservação da multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um operador linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes condições são satisfeitas:
  1. (preservação da adição)
  2. (preservação da multiplicação por escalar)

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade: preservação da adição. Seja T(u + v) = T(u1 + v1, u2 + v2) = ((u1 + v1) + 2(u2 + v2), 3(u1 + v1) - (u2 + v2))) e = (u1 + v1 + 2u2 + 2v2, 3u1 + 3v1 - u2 - v2) . Então,
T(u) + T(v) = (u1 + 2u2, 3u1 - u2) + (v1 + 2v2, 3v1 - v2)) = (u1 + 2u2 + v1 + 2v2, 3u1 - u2 + 3v1 - v2)
Simplificando:
Por outro lado,
Observamos que .

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade: preservação da multiplicação por escalar. Seja T(cu) = T(cu1, cu2) = (cu1 + 2cu2, 3cu1 - cu2) um escalar e = c(u1 + 2u2, 3u1 - u2) = cT(u) . Então,
Podemos fatorar o :
Então, .

Resposta

Como as duas propriedades de um operador linear são satisfeitas, concluímos que é um operador linear.

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