Use a definição de operador linear que foi dada nesta seção para mostrar que a função
dada pela fórmula
é um operador linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a função
definida por
é um operador linear. Para resolver isso, vamos usar a definição de operador linear, que envolve duas propriedades principais: preservação da adição de vetores e preservação da multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um operador linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
em
e qualquer escalar
, as seguintes condições são satisfeitas:
-
(preservação da adição) -
(preservação da multiplicação por escalar)
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade: preservação da adição. Seja
e
. Então,
Simplificando:
Por outro lado,
Observamos que
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda propriedade: preservação da multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
. Então,
Podemos fatorar o
:
Então,
.
Resposta
Como as duas propriedades de um operador linear são satisfeitas, concluímos que
é um operador linear.