Use a definiçăo para provar que
.
Passo 1
Vamos provar que, segundo a definição de limite em
,
Isto significa: para todo
existe
tal que, se
então
Passo 2
Começamos estimando a diferença
Pelo triângulo e fatoração
x^2-1=(x-1)(x+1) , obtemos
Passo 3
Para controlar o fator
|x+1| , impomos que
de<a<=1 . Assim, de
raiz(x-1)^2+(y-2)^2<de<a<=1 segue
|x-1|<1 , logo
Substituindo em nossa estimativa,
Passo 4
Dado
varepsilon>0 , queremos
9,|x-1| + |y-2|<varepsilon . Basta garantir
Então escolhemos
De
raiz(x-1)^2+(y-2)^2<de<a segue
|x-1|<de<a<=varepsilon18 e
|y-2|<de<a<=varepsilon2 . Logo
portanto
Resposta
Assim, pela definição de limite,