Use a definiçăo para provar que lim (x, y) (1,2) 3 x^2+y=5.

Passo 1

Vamos provar que, segundo a definição de limite em R^2,
lim(x,y)to(1,2)l(3x^2+yr)=5
Isto significa: para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, se
raiz(x-1)^2+(y-2)^2<de<a,
então
l|3x^2+y-5r|<varepsilon

Passo 2

Começamos estimando a diferença
l|3x^2+y-5r| =l|3x^2-3cdot1^2;+;(y-2)r| =l|3,(x^2-1)+(y-2)r|
Pelo triângulo e fatoração x^2-1=(x-1)(x+1), obtemos
l|3x^2+y-5r| <= 3,|x-1|,|x+1|;+;|y-2|

Passo 3

Para controlar o fator |x+1|, impomos que de<a<=1. Assim, de
raiz(x-1)^2+(y-2)^2<de<a<=1 segue |x-1|<1, logo
|x+1| = |(x-1)+2| <= |x-1|+2 < 1+2 = 3
Substituindo em nossa estimativa,
l|3x^2+y-5r| < 3cdot|x-1|cdot 3 ;+;|y-2| =9,|x-1| + |y-2|

Passo 4

Dado varepsilon>0, queremos 9,|x-1| + |y-2|<varepsilon. Basta garantir
9,|x-1|<varepsilon2 e |y-2|<varepsilon2
Então escolhemos
de<a = minl1,;varepsilon18,;varepsilon2r
De raiz(x-1)^2+(y-2)^2<de<a segue |x-1|<de<a<=varepsilon18 e |y-2|<de<a<=varepsilon2. Logo
9,|x-1|<9cdotvarepsilon18=varepsilon2 e |y-2|<varepsilon2,
portanto
l|3x^2+y-5r| < varepsilon2 + varepsilon2 = varepsilon

Resposta

Assim, pela definição de limite,
lim(x,y)to(1,2)l(3x^2+yr)=5

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