Use a definição \varepsilon-\delta para provar que
\lim _{x \rightarrow 0} \sqrt{1-\sin ^{3} x}=1
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição \varepsilon-\delta, que
\lim_{x\to 0} \sqrt{1-\sin^{3}x} = 1.
Informações dadas e/ou óbvias do enunciado:
\text{função } f(x)=\sqrt{1-\sin^{3}x},
o ponto de interesse é x=0, e queremos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que se |x|<\delta então |f(x)-1|<\varepsilon.
Também anotei que \sin^{3}x varia entre -1 e 1, então 1-\sin^{3}x é não negativo (a raiz está bem definida para todo x).
Passo 2
Lembra da definição \varepsilon-\delta de limite (aula rápida): dizer que
\lim_{x\to 0} f(x)=L
significa que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que |x-0|<\delta (ou seja |x|<\delta), teremos |f(x)-L|<\varepsilon.
No nosso caso L=1, então devemos controlar |\sqrt{1-\sin^{3}x}-1| por um termo que possamos fazer menor que \varepsilon escolhendo \delta apropriado.
Passo 3
Vamos manipular algebricamente a diferença \sqrt{1-\sin^{3}x}-1 usando a identidade de conjugado (é uma dica clássica que costuma facilitar):
seja a=1-\sin^{3}x. Então
Como \sqrt{1-\sin^{3}x}\ge 0, temos \sqrt{1-\sin^{3}x}+1\ge 1. Assim
\left|\sqrt{1-\sin^{3}x}-1\right|\le |\sin^{3}x|.
Passo 5
Agora precisamos dominar |\sin^{3}x| por algo em termos de |x|. Usamos a desigualdade clássica, válida para todo real x:
|\sin x|\le |x|.
(Isto pode ser visto geometricamente no círculo unitário ou obtido pela expansão em série; é uma desigualdade padrão que usamos aqui.) Elevando ao cubo, que preserva a desigualdade para não-negativos, obtemos
|\sin^{3}x| = |\sin x|^{3} \le |x|^{3}.
Combinando com o passo anterior,
\left|\sqrt{1-\sin^{3}x}-1\right|\le |x|^{3}.
Passo 6
Agora fica fácil escolher \delta. Queremos assegurar que |\sqrt{1-\sin^{3}x}-1|<\varepsilon. Pelo que acabamos de provar, basta garantir |x|^{3}<\varepsilon. Uma escolha natural é
\delta = \varepsilon^{1/3}.
Então, sempre que |x|<\delta teremos |x|^{3}<\delta^{3}=\varepsilon, e portanto, por desigualdade do passo anterior,
Conclusão formal no estilo \varepsilon-\delta: seja \varepsilon>0 dado. Escolha \delta=\varepsilon^{1/3}. Então, se |x|<\delta segue que |\sqrt{1-\sin^{3}x}-1|<\varepsilon. Isso mostra exatamente, pela definição, que