Use a definição \varepsilon-\delta para provar que
\lim _{x \rightarrow 0} \sqrt{1-\sin ^{3} x}=1

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição \varepsilon- \delta, que
\lim_{x\to 0} \sqrt{1-\sin^{3}x} = 1.
Informações dadas e/ou óbvias do enunciado:
\text{função } f(x)=\sqrt{1-\sin^{3}x},çã
o ponto de interesse é x=0, e queremos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que se |x|<\delta então |f(x)-1|<\varepsilon.
Também anotei que \sin^{3}x varia entre -1 e 1, então 1-\sin^{3}x é não negativo (a raiz está bem definida para todo x).

Passo 2

Lembra da definição \varepsilon- \delta de limite (aula rápida): dizer que
\lim_{x\to 0} f(x)=L
significa que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que |x-0|<\delta (ou seja |x|<\delta), teremos |f(x)-L|<\varepsilon.
No nosso caso L=1, então devemos controlar |\sqrt{1-\sin^{3}x}-1| por um termo que possamos fazer menor que \varepsilon escolhendo \delta apropriado.

Passo 3

Vamos manipular algebricamente a diferença \sqrt{1-\sin^{3}x}-1 usando a identidade de conjugado (é uma dica clássica que costuma facilitar):
seja a=1-\sin^{3}x. Então
\sqrt{a}-1=\frac{a-1}{\sqrt{a}+1}.
Aplicando com a=1-\sin^{3}x obtemos
\sqrt{1-\sin^{3}x}-1=\frac{(1-\sin^{3}x)-1}{\sqrt{1-\sin^{3}x}+1}=\frac{-\sin^{3}x}{\sqrt{1-\sin^{3}x}+1}.

Passo 4

Tome valor absoluto em ambos os lados e use que o denominador é positivo (pois \sqrt{1-\sin^{3}x}\ge 0):
\left|\sqrt{1-\sin^{3}x}-1\right|=\frac{|\sin^{3}x|}{\sqrt{1-\sin^{3}x}+1}.
Como \sqrt{1-\sin^{3}x}\ge 0, temos \sqrt{1-\sin^{3}x}+1\ge 1. Assim
\left|\sqrt{1-\sin^{3}x}-1\right|\le |\sin^{3}x|.

Passo 5

Agora precisamos dominar |\sin^{3}x| por algo em termos de |x|. Usamos a desigualdade clássica, válida para todo real x:
|\sin x|\le |x|.
(Isto pode ser visto geometricamente no círculo unitário ou obtido pela expansão em série; é uma desigualdade padrão que usamos aqui.) Elevando ao cubo, que preserva a desigualdade para não-negativos, obtemos
|\sin^{3}x| = |\sin x|^{3} \le |x|^{3}.
Combinando com o passo anterior,
\left|\sqrt{1-\sin^{3}x}-1\right|\le |x|^{3}.

Passo 6

Agora fica fácil escolher \delta. Queremos assegurar que |\sqrt{1-\sin^{3}x}-1|<\varepsilon. Pelo que acabamos de provar, basta garantir |x|^{3}<\varepsilon. Uma escolha natural é
\delta = \varepsilon^{1/3}.
Então, sempre que |x|<\delta teremos |x|^{3}<\delta^{3}=\varepsilon, e portanto, por desigualdade do passo anterior,
\left|\sqrt{1-\sin^{3}x}-1\right|\le |x|^{3}<\varepsilon.

Passo 7

Conclusão formal no estilo \varepsilon- \delta: seja \varepsilon>0 dado. Escolha \delta=\varepsilon^{1/3}. Então, se |x|<\delta segue que |\sqrt{1-\sin^{3}x}-1|<\varepsilon. Isso mostra exatamente, pela definição, que
\lim_{x\to 0} \sqrt{1-\sin^{3}x} = 1.

Resposta

1

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