1. (10 pontos) Seja f(x)=|x|^{n} g(x), onde n é numero impar e g(x) tem \mathbf{n} derivadas. Sob que condições suficientes e necessárias f(x) tem \mathbf{n} derivadas em x=0 ?

Passo 1

Enunciado e dados que temos (o que o problema pede claramente):
  • Foi dada a função f definida por
f(x)=|x|^{n} g(x),
onde n é um número ímpar e g possui \,n derivadas (isto é, g é C^{n} em um entorno de 0).
  • Pergunta: sob quais condições, necessárias e suficientes, f tem \,n derivadas em x=0? (Ou seja: quais condições em g garantem que f admite derivadas até a ordem n em 0.)

Passo 2

Observações iniciais e modelagem peça a peça (sem resolver ainda):
  • Primeiro nota rápida: |x|^{n}\) com \(n\) ímpar pode ser escrito de forma peça-a-peça: \[|x|^{n}=\begin{cases} x^{n}, & x>0,\\[4pt] 0, & x=0,\\[4pt] -\,x^{n}, & x<0, \end{cases}
porque (-x)^{n}=-x^{n}\] quando \(n é ímpar.
  • Portanto, para x>0 temos f(x)=x^{n}g(x) e para x<0 temos f(x)=-x^{n}g(x). Em x=0 temos f(0)=|0|^{n}g(0)=0.
  • Estratégia: calcular as derivadas de f para x\neq0 (usando a regra da Leibniz para derivar produto) e estudar os limites laterais quando x\to0^{+} e x\to0^{-}. Assim veremos quando as derivadas de ordem até n coincidem nas duas laterais — isso é equivalente a f ter as derivadas em 0.
Antes de aplicar a técnica, vou explicar a ferramenta principal que vamos usar: a regra de Leibniz (produto) para derivadas sucessivas.]

Passo 3

Explicando a regra de Leibniz e aplicando para ordens menores que n:
  • Regra de Leibniz (forma que vamos usar): para u(x) e v(x) suficientemente diferenciáveis,
(uv)^{(k)}(x)=\sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} u^{(j)}(x)\, v^{(k-j)}(x).
Aqui \binom{k}{j} é o coeficiente binomial; u^{(j)} é a j-ésima derivada de u.
  • Para x>0 podemos tomar u(x)=x^{n} e v(x)=g(x). As derivadas de u são fáceis:
u^{(j)}(x)=\frac{n!}{(n-j)!}\, x^{\,n-j}\quad\text{para }0\le j\le n,
e u^{(j)}(x)=0 para j>n. (Isto vem do cálculo direto: derivando x^{n} j vezes reduz o expoente em j e surge o fator fatorial.)
  • Agora peguemos uma ordem k com 1\le k\le n-1. Para x>0 a k-ésima derivada de f é
f^{(k)}(x)=\sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} u^{(j)}(x)\, g^{(k-j)}(x) =\sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j}\frac{n!}{(n-j)!}\, x^{\,n-j}\, g^{(k-j)}(x).
  • Observe que, para cada j no somatório, o fator x^{\,n-j} tem expoente n-j. Como j\le k\le n-1, temos n-j\ge n-k\ge 1. Logo cada termo do somatório contém um fator x^{\alpha} com \alpha\ge1. Como g^{(k-j)}(x) é finito e contínuo próximo de 0 (pois g tem n derivadas), cada termo tende a 0 quando x\to0^{+}. Portanto
\lim_{x\to0^{+}} f^{(k)}(x)=0.
  • Para x<0 fazemos o mesmo, com u(x)=-x^{n}. As derivadas u^{(j)}(x) são iguais a -\frac{n!}{(n-j)!}x^{n-j} quando j for tal que a constante -1 permanece; de qualquer forma cada termo também tem um fator x^{\,n-j} com n-j\ge1, então
\lim_{x\to0^{-}} f^{(k)}(x)=0.
  • Conclusão intermediária: para todas as ordens k com 1\le k\le n-1 os limites laterais de f^{(k)}(x) existem e valem 0. Logo f^{(k)}(0)=0 (a derivada de ordem k em 0 existe e é 0). Em palavras amistosas: as derivadas de ordem menor que n não exigem nenhuma condição extra em g.
(Vou dar um exemplo rápido para fixar a intuição: no caso n=3 vimos que f'(0)=f''(0)=0 sempre, independentemente de g(0).)

Passo 4

Analisando a derivada de ordem n — o ponto crítico — e provando a condição necessária e suficiente:
  • Para x>0 aplicamos a regra de Leibniz para k=n. Como u^{(j)}(x)=\dfrac{n!}{(n-j)!}x^{\,n-j}, obtemos
f^{(n)}(x)=\sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j}\frac{n!}{(n-j)!}\, x^{\,n-j}\, g^{(n-j)}(x).
  • Nos termos do somatório, quando j<n aparece o fator x^{\,n-j} com potência positiva ( n-j\ge1), portanto esses termos tendem a 0 quando x\to0^{+}. O único termo que pode não desaparecer é o termo com j=n. Para j=n temos u^{(n)}(x)=n! (constante) e g^{(0)}(x)=g(x). Portanto, tomando limite à direita,
\lim_{x\to0^{+}} f^{(n)}(x)=n!\, g(0).
  • Para x<0 fazemos o mesmo com u(x)=-x^{n}. Todas as derivadas u^{(j)}(x) para j\le n são iguais a -\dfrac{n!}{(n-j)!}x^{\,n-j} quando o sinal - persiste (na verdade o único efeito é que o termo j=n u^{(n)}(x)=-n!). Assim, ao tomar limite pela esquerda,
\lim_{x\to0^{-}} f^{(n)}(x)=-n!\, g(0).
  • Portanto os limites laterais da n-ésima derivada são n!\,g(0) (pela direita) e -n!\,g(0) (pela esquerda). Para que a derivada de ordem n em 0 exista é necessário e suficiente que esses dois limites coincidam. Eles coincidem exatamente quando
n!\,g(0) = -n!\,g(0)\quad\Longleftrightarrow\quad g(0)=0.
  • Se g(0)=0 então ambos os limites são 0, e portanto f^{(n)}(0)=0. Já mostramos antes que para ordens menores que n as derivadas em 0 existem e valem 0. Assim quando g(0)=0 todas as derivadas até a ordem n existem em 0.
  • Necessidade: se f tem n derivadas em 0 então, em particular, a derivada f^{(n)}(0) existe; pelo cálculo das duas laterais acima isso força g(0)=0. Suficiência: se g(0)=0 então as duas laterais coincidem em 0 e as derivadas até ordem n existem (e são zero).

Passo 5

Resumo didático e comentário final de reforço (ânimo!):
  • Intuição simples: o fator |x|^{n} com n ímpar “muda de sinal” ao atravessar 0; isso cria um sinal oposto entre as expressões à direita e à esquerda. Até a ordem n-1 essa mudança de sinal fica escondida porque aparecem sempre potências adicionais de x que anulam os termos ao ir para 0. Mas na ordem n aparece um termo constante proporcional a g(0) que fica com sinais opostos nas duas laterais; por isso precisamos que g(0)=0 para eliminar essa discrepância.
  • Conclusão concreta: a única condição necessária e suficiente (assumindo que g é C^{n}) para que f tenha n derivadas em 0 é que g(0)=0. Nesse caso, as derivadas em 0 são
f^{(k)}(0)=0\quad\text{para }k=0,1,\dots,n.

Resposta

A condição necessária e suficiente é g(0)=0.
Quando g(0)=0 temos f^{(k)}(0)=0 para todo k=0,1,\dots,n.

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