- (10 pontos) Seja
, onde
é numero impar e
tem
derivadas. Sob que condições suficientes e necessárias
tem
derivadas em
?
Passo 1
Enunciado e dados que temos (o que o problema pede claramente):
- Foi dada a função
definida por
onde
é um número ímpar e
possui
derivadas (isto é,
é
em um entorno de
).
- Pergunta: sob quais condições, necessárias e suficientes,
tem derivadas em ? (Ou seja: quais condições em garantem que admite derivadas até a ordem em .)
Passo 2
Observações iniciais e modelagem peça a peça (sem resolver ainda):
- Primeiro nota rápida:
porque
é ímpar.
- Portanto, para
temos e para temos . Em temos . - Estratégia: calcular as derivadas de
para (usando a regra da Leibniz para derivar produto) e estudar os limites laterais quando e . Assim veremos quando as derivadas de ordem até coincidem nas duas laterais — isso é equivalente a ter as derivadas em .
Antes de aplicar a técnica, vou explicar a ferramenta principal que vamos usar: a regra de Leibniz (produto) para derivadas sucessivas.]
Passo 3
Explicando a regra de Leibniz e aplicando para ordens menores que
:
- Regra de Leibniz (forma que vamos usar): para
e suficientemente diferenciáveis,
Aqui
é o coeficiente binomial;
é a
-ésima derivada de
.
- Para
podemos tomar e . As derivadas de são fáceis:
e
para
. (Isto vem do cálculo direto: derivando
vezes reduz o expoente em
e surge o fator fatorial.)
- Agora peguemos uma ordem
com . Para a -ésima derivada de é
- Observe que, para cada
no somatório, o fator tem expoente . Como , temos . Logo cada termo do somatório contém um fator com . Como é finito e contínuo próximo de (pois tem derivadas), cada termo tende a quando . Portanto
- Para
fazemos o mesmo, com . As derivadas são iguais a quando for tal que a constante permanece; de qualquer forma cada termo também tem um fator com , então
- Conclusão intermediária: para todas as ordens
com os limites laterais de existem e valem . Logo (a derivada de ordem em existe e é ). Em palavras amistosas: as derivadas de ordem menor que não exigem nenhuma condição extra em .
(Vou dar um exemplo rápido para fixar a intuição: no caso
vimos que
sempre, independentemente de
.)
Passo 4
Analisando a derivada de ordem
— o ponto crítico — e provando a condição necessária e suficiente:
- Para
aplicamos a regra de Leibniz para . Como , obtemos
- Nos termos do somatório, quando
aparece o fator com potência positiva ( ), portanto esses termos tendem a quando . O único termo que pode não desaparecer é o termo com . Para temos (constante) e . Portanto, tomando limite à direita,
- Para
fazemos o mesmo com . Todas as derivadas para são iguais a quando o sinal persiste (na verdade o único efeito é que o termo dá ). Assim, ao tomar limite pela esquerda,
- Portanto os limites laterais da
-ésima derivada são (pela direita) e (pela esquerda). Para que a derivada de ordem em exista é necessário e suficiente que esses dois limites coincidam. Eles coincidem exatamente quando
- Se
então ambos os limites são , e portanto . Já mostramos antes que para ordens menores que as derivadas em existem e valem . Assim quando todas as derivadas até a ordem existem em . - Necessidade: se
tem derivadas em então, em particular, a derivada existe; pelo cálculo das duas laterais acima isso força . Suficiência: se então as duas laterais coincidem em e as derivadas até ordem existem (e são zero).
Passo 5
Resumo didático e comentário final de reforço (ânimo!):
- Intuição simples: o fator
com ímpar “muda de sinal” ao atravessar ; isso cria um sinal oposto entre as expressões à direita e à esquerda. Até a ordem essa mudança de sinal fica escondida porque aparecem sempre potências adicionais de que anulam os termos ao ir para . Mas na ordem aparece um termo constante proporcional a que fica com sinais opostos nas duas laterais; por isso precisamos que para eliminar essa discrepância. - Conclusão concreta: a única condição necessária e suficiente (assumindo que
é ) para que tenha derivadas em é que . Nesse caso, as derivadas em são
Resposta
A condição necessária e suficiente é
.
Quando temos
para todo
.
Quando