Encontre a derivada direcional no ponto
da função dada, na direção do vetor
:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se a derivada direcional de
no ponto na direção do vetor . - Função dada:
. - Ponto dado:
. - Vetor dado:
.
Passo 2
O que é a derivada direcional e como vamos calcular (conceito importante, explicado devagar):
- A derivada direcional de
em na direção de um vetor mede a taxa de variação de ao mover-se em na direção de . - Para calcular usamos o gradiente de
(que reúne todas as derivadas parciais) e o produto escalar com o vetor unitário na direção de . - Fórmula chave:
onde
é o vetor unitário na direção de
.
- Observação didática: é necessário usar
(e não bruto) porque a derivada direcional é definida por unidade de deslocamento — se você dobrar o comprimento de a variação por unidade mudaria.
Passo 3
Encontrar as derivadas parciais (isto é, calcular
):
- Reescrevendo
:
- Derivada parcial em relação a
: aplicamos a regra da cadeia em cada termo. - Para
: derivada em relação a é (porque ). - Para
: derivada em relação a é (porque ). - Logo:
- Para
- Derivada parcial em relação a
: -
dá . -
não depende de , então contribui . - Logo:
-
- Derivada parcial em relação a
: -
não depende de , então . -
dá . - Logo:
-
- Assim o gradiente é
Passo 4
Avaliar o gradiente em
:
- Substituímos
, , . - Calcular valores trigonométricos simples:
-
. -
.
-
- Agora cada componente:
- Primeira componente:
. - Vamos com calma:
. - Portanto primeira componente
.
- Vamos com calma:
- Segunda componente:
. - Terceira componente:
.
- Primeira componente:
- Logo
Passo 5
Calcular o vetor unitário
na direção de
:
- Primeiro a norma:
- Então o vetor unitário é
Passo 6
Fazer o produto escalar
:
- Multiplicamos componente a componente e somamos:
- Calculemos termo a termo:
- Primeiro termo:
. - Terceiro termo:
. - Somando os termos com
: . - Acrescentando o termo do meio
, obtemos
- Primeiro termo:
Passo 7
Resumo final e moraleja rápida (um empurrãozinho motivacional):
- Seguindo os passos: calcular as parciais, montar o gradiente, normalizar o vetor direção e fazer o produto escalar foi suficiente.
- Se ficar ansioso na prova, faça exatamente essa sequência com calma — ela funciona sempre para derivada direcional.
- Você já tem a resposta pronta e passou por todo o raciocínio explicado passo a passo.