Encontre a derivada direcional no ponto P_{0} da função dada, na direção do vetor u :
f(x, y, z)=\operatorname{sen}(x y)+\cos (z x), P_{0}=(1,0,-1), u=(-1,2,-2)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se a derivada direcional de f no ponto P_{0} na direção do vetor u.
  • Função dada: f(x,y,z)=\operatorname{sen}(x y)+\cos(z x).
  • Ponto dado: P_{0}=(1,0,-1).
  • Vetor dado: \mathbf{u}=(-1,2,-2).

Passo 2

O que é a derivada direcional e como vamos calcular (conceito importante, explicado devagar):
  • A derivada direcional de f em P_{0} na direção de um vetor \mathbf{u} mede a taxa de variação de f ao mover-se em P_{0} na direção de \mathbf{u}.
  • Para calcular usamos o gradiente de f (que reúne todas as derivadas parciais) e o produto escalar com o vetor unitário na direção de \mathbf{u}.
  • Fórmula chave:
D_{\mathbf{u}}f(P_{0})=\nabla f(P_{0})\cdot \hat{\mathbf{u}},
onde \hat{\mathbf{u}} é o vetor unitário na direção de \mathbf{u}.
  • Observação didática: é necessário usar \hat{\mathbf{u}} (e não \mathbf{u} bruto) porque a derivada direcional é definida por unidade de deslocamento — se você dobrar o comprimento de \mathbf{u} a variação por unidade mudaria.

Passo 3

Encontrar as derivadas parciais (isto é, calcular \nabla f):
  • Reescrevendo f:
f(x,y,z)=\operatorname{sen}(x y)+\cos(z x).
  • Derivada parcial em relação a x: aplicamos a regra da cadeia em cada termo.
    • Para \operatorname{sen}(x y): derivada em relação a x é y\cos(xy) (porque \frac{d}{dx}\sin(xy)=\cos(xy)\cdot \frac{d}{dx}(xy)=\cos(xy)\cdot y).
    • Para \cos(zx): derivada em relação a x é -\sin(zx)\cdot z (porque \frac{d}{dx}\cos(zx)=-\sin(zx)\cdot \frac{d}{dx}(zx)=-\sin(zx)\cdot z).
    • Logo:
    \frac{\partial f}{\partial x}=y\cos(xy)-z\sin(zx).
  • Derivada parcial em relação a y:
    • \operatorname{sen}(xy) x\cos(xy).
    • \cos(zx) não depende de y, então contribui 0.
    • Logo:
    \frac{\partial f}{\partial y}=x\cos(xy).
  • Derivada parcial em relação a z:
    • \operatorname{sen}(xy) não depende de z, então 0.
    • \cos(zx) -\sin(zx)\cdot x.
    • Logo:
    \frac{\partial f}{\partial z}=-x\sin(zx).
  • Assim o gradiente é
\nabla f(x,y,z)=\bigl(y\cos(xy)-z\sin(zx),\; x\cos(xy),\; -x\sin(zx)\bigr).

Passo 4

Avaliar o gradiente em P_{0}=(1,0,-1):
  • Substituímos x=1, y=0, z=-1.
  • Calcular valores trigonométricos simples:
    • \cos(xy)=\cos(1\cdot 0)=\cos(0)=1.
    • \sin(zx)=\sin((-1)\cdot 1)=\sin(-1)=-\sin 1.
  • Agora cada componente:
    • Primeira componente: y\cos(xy)-z\sin(zx)=0\cdot 1 - (-1)\cdot\sin(-1).
      • Vamos com calma: -z\sin(zx)=-(-1)\cdot\sin(-1)=+1\cdot\sin(-1)=\sin(-1)=-\sin 1.
      • Portanto primeira componente =-\sin 1.
    • Segunda componente: x\cos(xy)=1\cdot 1=1.
    • Terceira componente: -x\sin(zx)=-1\cdot\sin(-1)=-1\cdot(-\sin 1)=\sin 1.
  • Logo
\nabla f(1,0,-1)=\bigl(-\sin 1,\; 1,\; \sin 1\bigr).

Passo 5

Calcular o vetor unitário \hat{\mathbf{u}} na direção de \mathbf{u}=(-1,2,-2):
  • Primeiro a norma:
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.
  • Então o vetor unitário é
\hat{\mathbf{u}}=\frac{1}{3}(-1,2,-2)=\Bigl(-\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\Bigr).

Passo 6

Fazer o produto escalar \nabla f(P_{0})\cdot \hat{\mathbf{u}}:
  • Multiplicamos componente a componente e somamos:
\begin{aligned} D_{\mathbf{u}}f(P_{0})&=\bigl(-\sin 1,\;1,\;\sin 1\bigr)\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\Bigr)\\[4pt] &=(-\sin 1)\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr)+1\cdot\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)+(\sin 1)\cdot\Bigl(-\tfrac{2}{3}\Bigr). \end{aligned}
  • Calculemos termo a termo:
    • Primeiro termo: (-\sin 1)\cdot(-\tfrac{1}{3})=\tfrac{1}{3}\sin 1.
    • Terceiro termo: (\sin 1)\cdot(-\tfrac{2}{3})=-\tfrac{2}{3}\sin 1.
    • Somando os termos com \sin 1: \tfrac{1}{3}\sin 1 - \tfrac{2}{3}\sin 1 = -\tfrac{1}{3}\sin 1.
    • Acrescentando o termo do meio \tfrac{2}{3}, obtemos
D_{\mathbf{u}}f(P_{0})=\tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{3}\sin 1=\frac{2-\sin 1}{3}.]

Passo 7

Resumo final e moraleja rápida (um empurrãozinho motivacional):
  • Seguindo os passos: calcular as parciais, montar o gradiente, normalizar o vetor direção e fazer o produto escalar foi suficiente.
  • Se ficar ansioso na prova, faça exatamente essa sequência com calma — ela funciona sempre para derivada direcional.
  • Você já tem a resposta pronta e passou por todo o raciocínio explicado passo a passo.

Resposta

\dfrac{2-\sin 1}{3}

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