Use a definição para verificar se a integral imprópria converge ou diverge. Calcule o valor das integrais impróprias que convergem.
integral0^infty e^-t sen t d t

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria integral0^infty e^-tsin t,dt converge e, caso positivo, calcular o valor. O conteúdo envolvido é definição de integral imprópria e técnica de integração por partes para encontrar a primitiva.

Passo 2

Definimos a integral imprópria como limite de integrais próprias:
I = integral0^infty e^-tsin t,dt = limbtoinfty integral0^b e^-tsin t,dt

Passo 3

Para achar uma primitiva de e^-tsin t, fazemos duas integrações por partes. O resultado final é
F(t) = integral e^-tsin t,dt = -tfrac12 e^-t(sin t + cos t) + C

Passo 4

Calculamos a integral de 0 a b usando F(t):
integral0^b e^-tsin t,dt = F(b)-F(0) = -tfrac12 e^-b(sin b+cos b) + tfrac12

Passo 5

Agora tomamos o limite quando btoinfty. Como e^-b(sin b+cos b)to0, temos
I = limbtoinftyl(-tfrac12 e^-b(sin b+cos b) + tfrac12r) = tfrac12
Logo a integral converge e vale tfrac12.

Resposta

tfrac12

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