Use as definições
senh x=e^x-e^-x2 cossech x=e^x+e^-x2
e a série Maclaurin de e^x para mostrar que
(a) senh x=sumn=0^infty x^2 n+1(2 n+1)!
(b) cossech x=sumn=0^infty x^2 n(2 n)!

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem duas funções hiperbólicas definidas por:
senh x = e^x - e^-x2 cossech x = e^x + e^-x2
E a gente precisa usar a série de Maclaurin da função e^x para mostrar que:
(a) senh x = sumn=0^infty x^2n+1(2n+1)!
(b) cossech x = sumn=0^infty x^2n(2n)!
Então, vamos precisar entender o que é a série de Maclaurin e como aplicá-la nessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série de Maclaurin para e^x. A série de Maclaurin é uma forma de expandir uma função em uma série de potências em torno de x = 0. Para e^x, a série é:
e^x = sumn=0^infty x^nn!
Isso significa que podemos substituir e^x e e^-x por suas respectivas séries.

Passo 3

Vamos escrever a série de Maclaurin para e^-x. Basta substituir x por -x na série de e^x:
e^-x = sumn=0^infty (-x)^nn! = sumn=0^infty (-1)^nx^nn!

Passo 4

Agora, vamos usar as definições de senh x e cossech x com as séries que encontramos:
senh x = e^x - e^-x2 = 12 ( sumn=0^infty x^nn! - sumn=0^infty (-1)^nx^nn! )
cossech x = e^x + e^-x2 = 12 ( sumn=0^infty x^nn! + sumn=0^infty (-1)^nx^nn! )

Passo 5

Vamos simplificar as somas. Para senh x, ao subtrair as duas séries, os termos pares se cancelam e só restam os ímpares:
senh x = 12 ( 2 sumn=0^infty x^2n+1(2n+1)! ) = sumn=0^infty x^2n+1(2n+1)!
Isso mostra que:
senh x = sumn=0^infty x^2n+1(2n+1)!
Para cossech x, ao somar as duas séries, os termos ímpares se cancelam e só restam os pares:
cossech x = 12 ( 2 sumn=0^infty x^2n(2n)! ) = sumn=0^infty x^2n(2n)!
Então:
cossech x = sumn=0^infty x^2n(2n)!

Resposta

(a) senh x = sumn=0^infty x^2n+1(2n+1)!
(b) cossech x = sumn=0^infty x^2n(2n)!

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