Use as definições
e a série Maclaurin de
para mostrar que
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem duas funções hiperbólicas definidas por:
E a gente precisa usar a série de Maclaurin da função
para mostrar que:
(a)
(b)
Então, vamos precisar entender o que é a série de Maclaurin e como aplicá-la nessas funções.
(a)
(b)
Então, vamos precisar entender o que é a série de Maclaurin e como aplicá-la nessas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série de Maclaurin para
. A série de Maclaurin é uma forma de expandir uma função em uma série de potências em torno de
. Para
, a série é:
Isso significa que podemos substituir
e
por suas respectivas séries.
Passo 3
Vamos escrever a série de Maclaurin para
. Basta substituir
por
na série de
:
Passo 4
Agora, vamos usar as definições de
e
com as séries que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar as somas. Para
, ao subtrair as duas séries, os termos pares se cancelam e só restam os ímpares:
Isso mostra que:
Para
, ao somar as duas séries, os termos ímpares se cancelam e só restam os pares:
Então:
Resposta
(a)
(b)