Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga qual é o raio de convergência.
(1-x)^34

Passo 1

O enunciado pede para expandir a função (1 - x)^34 em série de potências usando o Teorema Binomial de Newton para expoente inteiro. Precisamos aplicar a fórmula do binômio para expoente inteiro e, em seguida, determinar o raio de convergência.

Passo 2

Para expoente inteiro não negativo m, o Teorema Binomial afirma que
(1 + u)^m = sumk=0^m binommk,u^k,
válido para qualquer u. No nosso caso, tomamos m = 34 e u = -x, o que leva a
(1 - x)^34 ;=;sumn=0^34 binom34n,(-x)^n ;=;sumn=0^34(-1)^nbinom34n,x^n

Passo 3

Como essa série termina em n=34 (é um polinômio de grau 34), ela converge para todo xinR. Portanto, o raio de convergência é infinito.

Resposta

(1 - x)^34 = sumn=0^34(-1)^nbinom34n,x^n, R = infty

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