Use uma série de Maclaurin na Tabela 1 para obter a série de Maclaurin da função dada.
f(x)=arctg(x^2)

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de
f(x)=arctgl(x^2r)
O conteúdo aqui é séries de Taylor/Maclaurin e vamos usar a série dada na tabela para arctg(u), fazendo depois a substituição u=x^2.

Passo 2

Na tabela temos a série de Maclaurin de arctg(u):
arctg(u) =sumn=0^infty(-1)^n,u^2n+12n+1, |u|<=1

Passo 3

Substituindo u=x^2 nessa série, obtemos
arctgl(x^2r) =sumn=0^infty(-1)^n,l(x^2r)^2n+12n+1

Passo 4

Agora basta simplificar o expoente:
l(x^2r)^2n+1=x^4n+2,
logo
arctgl(x^2r) =sumn=0^infty(-1)^n,x^4n+22n+1

Passo 5

O raio de convergência é dado por |x^2|<=1, ou seja |x|<=1.

Resposta

f(x)=arctg(x^2) =sumn=0^infty(-1)^n,x^4n+22n+1 =x^2-x^63+x^105-x^147+cdots, |x|<1

Exercícios relacionados