Use a derivação implícita para determinar
.
Passo 1
O enunciado pede encontrar
usando diferenciação implícita para a equação
Informações dadas:
- A igualdade é entre a função produto
e a função trigonométrica . - Deve-se obter
em termos de e .
Não há outras informações fornecidas (por exemplo pontos específicos); vamos trabalhar de forma geral.
Passo 2
Antes de derivar, um pequeno resumo das regras que vamos usar (com exemplos curtos para fixar):
- Regra do produto: a derivada de
é
Isto vem de
aplicando
e
.
- Regra da cadeia: a derivada de uma composição
é .
Ex.:. - Derivada da cotangente: para
,
onde
. Exemplo:
.
Vamos aplicar essas regras com
.
Passo 3
Derivamos ambos os lados da equação
em relação a
.
Derivada do lado esquerdo (regra do produto):
Derivada do lado direito (regra da cadeia + derivada de
):
Portanto, igualando as derivadas:
Passo 4
Fatoramos o termo comum
:
Agora, analise o fator
. Para argumentos reais,
sempre que
estiver definido, então
sempre que a expressão estiver definida (nota:
é indefinida quando
, mas nesses pontos originais a igualdade
também é problemática porque
fica indefinida; portanto nos interessam valores onde as funções são definidas). Assim o fator
não pode ser zero em pontos válidos do problema.
Logo a única possibilidade é
Passo 5
Isolando
obtemos
com a observação de que
nos pontos onde a expressão faz sentido (além disso, pontos com
não pertencem ao domínio da igualdade original porque
seria indefinida).