Use a derivação implícita para determinar d y / d x.
x y=\operatorname{cotg}(x y)

Passo 1

O enunciado pede encontrar \dfrac{d y}{d x} usando diferenciação implícita para a equação
x y = \operatorname{cotg}(x y).
Informações dadas:
  • A igualdade é entre a função produto x y e a função trigonométrica \operatorname{cotg}(x y).
  • Deve-se obter \dfrac{d y}{d x} em termos de x e y.
    Não há outras informações fornecidas (por exemplo pontos específicos); vamos trabalhar de forma geral.

Passo 2

Antes de derivar, um pequeno resumo das regras que vamos usar (com exemplos curtos para fixar):
  • Regra do produto: a derivada de x\mapsto x\cdot y(x) é
\frac{d}{dx}\bigl(xy\bigr)=y + x\frac{dy}{dx}.
Isto vem de \frac{d}{dx}(u\cdot v)=u'v+uv' aplicando u=x e v=y(x).
  • Regra da cadeia: a derivada de uma composição f(g(x)) é f'(g(x))\cdot g'(x).
    Ex.: \frac{d}{dx}\sin(2x)=\cos(2x)\cdot 2.
  • Derivada da cotangente: para u=u(x),
\frac{d}{dx}\bigl(\cot(u)\bigr)=-\csc^{2}(u)\cdot u'(x),
onde \csc(u)=1/\sin(u). Exemplo: \frac{d}{dx}\cot(3x)=-\csc^{2}(3x)\cdot 3.
Vamos aplicar essas regras com u(x)=x y(x).

Passo 3

Derivamos ambos os lados da equação \;x y = \cot(x y)\; em relação a x.
Derivada do lado esquerdo (regra do produto):
\frac{d}{dx}\bigl(xy\bigr)=y + x\frac{dy}{dx}.
Derivada do lado direito (regra da cadeia + derivada de \cot):
\frac{d}{dx}\bigl(\cot(xy)\bigr)=-\csc^{2}(xy)\cdot\frac{d}{dx}(xy)=-\csc^{2}(xy)\bigl(y + x\frac{dy}{dx}\bigr).
Portanto, igualando as derivadas:
y + x\frac{dy}{dx} = -\csc^{2}(xy)\bigl(y + x\frac{dy}{dx}\bigr).

Passo 4

Fatoramos o termo comum \bigl(y + x\frac{dy}{dx}\bigr):
\bigl(y + x\frac{dy}{dx}\bigr)\Bigl(1 + \csc^{2}(xy)\Bigr)=0.
Agora, analise o fator \Bigl(1 + \csc^{2}(xy)\Bigr). Para argumentos reais, \csc^{2}(t)\ge 0 sempre que \csc(t) estiver definido, então
1+\csc^{2}(xy)>0
sempre que a expressão estiver definida (nota: \csc é indefinida quando \sin(xy)=0, mas nesses pontos originais a igualdade x y=\cot(x y) também é problemática porque \cot fica indefinida; portanto nos interessam valores onde as funções são definidas). Assim o fator \bigl(1+\csc^{2}(xy)\bigr) não pode ser zero em pontos válidos do problema.
Logo a única possibilidade é
y + x\frac{dy}{dx}=0.

Passo 5

Isolando \dfrac{dy}{dx} obtemos
x\frac{dy}{dx} = -y
\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x},
com a observação de que x\neq 0 nos pontos onde a expressão faz sentido (além disso, pontos com \sin(xy)=0 não pertencem ao domínio da igualdade original porque \cot(xy) seria indefinida).

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}

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