Use a derivação implícita para determinar d y / d x. y \operatorname{sen}\left(\frac{1}{y}\right)=1-x y
Passo 1
O enunciado dá a equação
y\sin\!\left(\frac{1}{y}\right)=1-xy
e pede para determinar \dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
y é função de x (ou seja, y=y(x)); quando derivarmos devemos lembrar que y depende de x.
A equação relaciona x e y de forma implícita (não foi dada y isoladamente).
Pedido: achar \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y.
Passo 2
Plano de ação (resumido): diferenciar em relação a x os dois lados da igualdade, lembrando que y depende de x. Ao diferenciar termos em que aparece produto de funções ou função composta, usar as regras adequadas. Agora explico essas regras com calma antes de aplicar.
Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções de x, então
( u v )' = u' v + u v'.
Aqui o apóstrofo indica derivada em relação a x, isto é, u'=\dfrac{du}{dx} e v'=\dfrac{dv}{dx}. Exemplo simples: (x^2\cdot \sin x)' = 2x\sin x + x^2\cos x.
Passo 3
Regra da cadeia: se h(x)=f(g(x)) é uma função composta, então
h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
No nosso problema aparecerá \sin\!\big(\tfrac{1}{y(x)}\big). Aplicando a regra da cadeia: derivada de \sin é \cos avaliada no mesmo argumento multiplicada pela derivada do argumento. Também precisamos da derivada de \dfrac{1}{y(x)}. Como \dfrac{1}{y}=y^{-1}, tem-se
Finalmente, dividindo pelo fator entre parênteses (assumindo que ele não seja zero), obtemos \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{\displaystyle \sin\!\left(\frac{1}{y}\right)-\frac{\cos\!\left(\frac{1}{y}\right)}{y} + x }.
Passo 7
Observações finais rápidas e úteis para a prova:
A resposta está em termos de x e y; isto é esperado em diferenciação implícita quando não se consegue isolar y explicitamente.
A derivada existe enquanto o denominador \sin\!\left(\tfrac{1}{y}\right)-\dfrac{\cos\!\left(\tfrac{1}{y}\right)}{y}+x for diferente de 0. Se esse denominador for zero em algum ponto isso indica que, naquele ponto, a derivada pode não existir ou ser infinita — teria que analisar caso a caso.
Estratégia prática para a prova: faça sempre as derivadas termo a termo com calma, aplique produto e cadeia, fature y' (ou \dfrac{dy}{dx}) e isole-o — esse é o fluxo padrão para essas questões.