Use a derivação implícita para determinar
.
Passo 1
O enunciado fornece a equação
e pede para determinar
usando derivação implícita.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A variável independente é
. - A variável dependente é
, que deve ser entendida como uma função de , isto é . - A relação entre
e está dada implicitamente pela equação acima. - A tarefa é encontrar a expressão de
em termos de e .
Passo 2
Ideia e ferramentas que vamos usar (explicação didática passo a passo):
- Quando
aparece misturada com (como aqui), tratamos como função e diferenciamos ambos os lados da equação em relação a . Isso é a derivação implícita. - Regras que serão usadas:
- Regra da cadeia: se
, então
Exemplo simples: .
2. Regra do produto: se, então Exemplo simples: . - Regra da cadeia: se
- Notação: vou escrever
para representar .
Passo 3
Aplicar a diferenciação em ambos os lados da equação
em relação a
.
Primeiro o lado esquerdo. Use a regra da cadeia com
:
Agora aplique a regra do produto para
, com
e
:
Juntando:
Agora o lado direito. Diferencie termo a termo:
Passo 4
Colocando as duas derivadas obtidas em igualdade:
O próximo passo é isolar
. Primeiro desenvolve-se os produtos:
Passo 5
Coloca os termos que envolvem
de um lado e os outros do outro lado. Subtrai
e subtrai
de ambos os lados:
Fatora
no lado esquerdo:
Finalmente, divide pelo fator que multiplica
(assumindo que
):
Passo 6
Pequena simplificação estética (fator comum
no numerador):
Outra forma equivalente, multiplicando numerador e denominador por
, é
Ambas são corretas; escolha a forma que achar mais clara na hora da prova.