Use a derivação implícita para determinar d y / d x.
e^{x^{2} y}=2 x+2 y

Passo 1

O enunciado fornece a equação
e^{x^{2}y}=2x+2y
e pede para determinar \dfrac{dy}{dx} usando derivação implícita.
Informações relevantes que temos:
  • A variável independente é x.
  • A variável dependente é y, que deve ser entendida como uma função de x, isto é y=y(x).
  • A relação entre x e y está dada implicitamente pela equação acima.
  • A tarefa é encontrar a expressão de \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y.

Passo 2

Ideia e ferramentas que vamos usar (explicação didática passo a passo):
  • Quando y aparece misturada com x (como aqui), tratamos y como função y(x) e diferenciamos ambos os lados da equação em relação a x. Isso é a derivação implícita.
  • Regras que serão usadas:
    1. Regra da cadeia: se F(x)=e^{u(x)}, então
    \frac{d}{dx} e^{u(x)} = e^{u(x)}\cdot u'(x).Exemplo simples: \dfrac{d}{dx}e^{3x}=e^{3x}\cdot 3.
    2. Regra do produto: se G(x)=u(x)\,v(x), então \frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).Exemplo simples: \dfrac{d}{dx}\big(x^{2}y(x)\big)=2x\cdot y(x)+x^{2}\cdot y'(x).
  • Notação: vou escrever y' para representar \dfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Aplicar a diferenciação em ambos os lados da equação \,e^{x^{2}y}=2x+2y\, em relação a x.
Primeiro o lado esquerdo. Use a regra da cadeia com u(x)=x^{2}y(x):
\frac{d}{dx}\big(e^{x^{2}y}\big)=e^{x^{2}y}\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big).
Agora aplique a regra do produto para \dfrac{d}{dx}(x^{2}y), com u(x)=x^{2} e v(x)=y(x):
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=2x\cdot y + x^{2}\cdot y'.
Juntando:
\frac{d}{dx}\big(e^{x^{2}y}\big)=e^{x^{2}y}\big(2x y + x^{2} y'\big).
Agora o lado direito. Diferencie termo a termo:
\frac{d}{dx}\big(2x+2y\big)=2 + 2y'.

Passo 4

Colocando as duas derivadas obtidas em igualdade:
e^{x^{2}y}\big(2x y + x^{2} y'\big)=2 + 2y'.
O próximo passo é isolar y'. Primeiro desenvolve-se os produtos:
2x y\,e^{x^{2}y} + x^{2} e^{x^{2}y}\,y' = 2 + 2y'.

Passo 5

Coloca os termos que envolvem y' de um lado e os outros do outro lado. Subtrai 2y' e subtrai 2x y\,e^{x^{2}y} de ambos os lados:
x^{2} e^{x^{2}y}\,y' - 2y' = 2 - 2x y\,e^{x^{2}y}.
Fatora y' no lado esquerdo:
y'\big(x^{2} e^{x^{2}y} - 2\big) = 2 - 2x y\,e^{x^{2}y}.
Finalmente, divide pelo fator que multiplica y' (assumindo que x^{2} e^{x^{2}y} - 2 \neq 0):
y' = \frac{2 - 2x y\,e^{x^{2}y}}{x^{2} e^{x^{2}y} - 2}.

Passo 6

Pequena simplificação estética (fator comum 2 no numerador):
y' = \frac{2\big(1 - x y\,e^{x^{2}y}\big)}{x^{2} e^{x^{2}y} - 2}.
Outra forma equivalente, multiplicando numerador e denominador por -1, é
y' = \frac{2\big(x y\,e^{x^{2}y} - 1\big)}{2 - x^{2} e^{x^{2}y}}.
Ambas são corretas; escolha a forma que achar mais clara na hora da prova.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{2-2x y\,e^{x^{2}y}}{x^{2} e^{x^{2}y}-2}

Exercícios relacionados