Use a derivação implícita para determinar
nos exercícios a seguir
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
e pede para determinar
.
Informações relevantes: a igualdade relaciona e
(onde
é função de
), e precisamos obter a derivada de
em relação a
usando derivação implícita.
Informações relevantes: a igualdade relaciona
Passo 2
Vou diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a
. Antes disso, lembro duas regras que vou usar:
Aqui
é qualquer função de
. No nosso caso, para o lado direito
.
Passo 3
Derivando o lado esquerdo
:
Expliquei: usei que a derivada de
é
e que
tem
.
Passo 4
Derivando o lado direito
:
Agora
, porque
e
(já que
depende de
).
Portanto
Passo 5
Igualando as derivadas dos dois lados obtemos a equação:
Passo 6
Agora isolamos
. Primeiro dividimos por
(assumindo
):
Subtraindo 1:
Finalmente dividindo por
:
Passo 7
Podemos escrever a resposta em uma forma única e um pouco mais compacta, juntando termos sobre o mesmo denominador:
Observação rápida e amiga: preste atenção na restrição
ao usar essa expressão — quando
a derivada pode não existir ou precisa ser tratada com cuidado.