Use a derivação implícita para determinar \frac{d y}{d x} nos exercícios a seguir
e^{2 x}=\operatorname{sen}(x+3 y)

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
e^{2x} = \operatorname{sen}(x+3y)
e pede para determinar \dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes: a igualdade relaciona x e y (onde y é função de x), e precisamos obter a derivada de y em relação a x usando derivação implícita.

Passo 2

Vou diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a x. Antes disso, lembro duas regras que vou usar:
\text{(a) } \frac{d}{dx} e^{u(x)} = e^{u(x)}\cdot u'(x)\quad\text{(regra da cadeia para exponencial)}
\text{(b) } \frac{d}{dx}\operatorname{sen}(u(x))=\cos(u(x))\cdot u'(x)\quad\text{(regra da cadeia para seno)}
Aqui u(x) é qualquer função de x. No nosso caso, para o lado direito u(x)=x+3y(x).

Passo 3

Derivando o lado esquerdo \;e^{2x}\;:
\frac{d}{dx} e^{2x} = e^{2x}\cdot \frac{d}{dx}(2x) = e^{2x}\cdot 2 = 2e^{2x}.
Expliquei: usei que a derivada de e^{u} é e^{u}u' e que u=2x tem u'=2.

Passo 4

Derivando o lado direito \;\operatorname{sen}(x+3y)\;:
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x+3y)=\cos(x+3y)\cdot\frac{d}{dx}(x+3y).
Agora \frac{d}{dx}(x+3y)=\frac{d}{dx}x + \frac{d}{dx}(3y)=1 + 3\frac{dy}{dx}, porque \frac{d}{dx}x=1 e \frac{d}{dx}(3y)=3\frac{dy}{dx} (já que y depende de x).
Portanto
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x+3y)=\cos(x+3y)\bigl(1+3\frac{dy}{dx}\bigr).

Passo 5

Igualando as derivadas dos dois lados obtemos a equação:
2e^{2x} = \cos(x+3y)\bigl(1+3\frac{dy}{dx}\bigr).

Passo 6

Agora isolamos \dfrac{dy}{dx}. Primeiro dividimos por \cos(x+3y) (assumindo \cos(x+3y)\neq 0):
1+3\frac{dy}{dx} = \frac{2e^{2x}}{\cos(x+3y)}.
Subtraindo 1:
3\frac{dy}{dx} = \frac{2e^{2x}}{\cos(x+3y)} - 1.
Finalmente dividindo por 3:
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}\left(\frac{2e^{2x}}{\cos(x+3y)} - 1\right).

Passo 7

Podemos escrever a resposta em uma forma única e um pouco mais compacta, juntando termos sobre o mesmo denominador:
\frac{dy}{dx} = \frac{2e^{2x} - \cos(x+3y)}{3\cos(x+3y)}.
Observação rápida e amiga: preste atenção na restrição \cos(x+3y)\neq 0 ao usar essa expressão — quando \cos(x+3y)=0 a derivada pode não existir ou precisa ser tratada com cuidado.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2e^{2x}-\cos(x+3y)}{3\cos(x+3y)}

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