Use a derivação implícita para determinar
nos exercícios a seguir
Passo 1
O enunciado pede: "Use a derivação implícita para determinar
" para a equação dada.
Informações fornecidas pelo enunciado:
Informações fornecidas pelo enunciado:
O que é pedido: encontrar
(ou seja,
) em termos de
e
.
Passo 2
Ideia de solução (sem resolver ainda): vamos derivar ambos os lados da igualdade em relação a
. Aqui é crucial lembrar que
é uma função de
(ou seja,
), então quando derivamos qualquer termo que contenha
usamos a regra da cadeia. Relembre as regras que usaremos:
- Derivada de uma soma: a derivada é a soma das derivadas.
- Regra do produto: se temos duas funções
e , então
- Regra da cadeia para
: como depende de ,
Aqui adoto a notação
. Vou aplicar essas regras termo a termo.
Passo 3
Derivando o membro esquerdo
termo a termo:
- Para
: é uma constante vezes o produto . Use a regra do produto em :
Multiplicando por
dá
- Para
: usando regra da cadeia,
Somando os dois resultados:
Passo 4
Derivando o membro direito
:
-
. -
.
Logo
Passo 5
Agora igualamos as derivadas dos dois lados (porque as funções originais são iguais para todo
em que a relação vale):
O objetivo é isolar
. Primeiro juntamos os termos que contêm
no mesmo lado e os termos sem
no outro:
Fatorando
do lado esquerdo:
Passo 6
Isolando
dividindo pelo fator
(desde que esse fator não seja zero):
Observação prática: se
a expressão acima não serve (derivada não pode ser obtida dessa forma ali); isso indica pontos em que a inclinação pode ser indefinida ou onde a função implicada não satisfaz as hipóteses usuais para resolver por essa fórmula.
Passo 7
Para fixar a ideia, um exemplo rápido: escolha
. A equação original vira
, ou seja
ou
. Calculando
nas duas soluções:
- Para
: - Para
:
Ambos dão declive, só para ver a fórmula em ação.