Use a derivação implícita para determinar \frac{d y}{d x} nos exercícios a seguir
2 x y+y^{2}=x+y

Passo 1

O enunciado pede: "Use a derivação implícita para determinar \dfrac{d y}{d x}" para a equação dada.
Informações fornecidas pelo enunciado:
2 x y + y^{2} = x + y
O que é pedido: encontrar \dfrac{d y}{d x} (ou seja, y') em termos de x e y.

Passo 2

Ideia de solução (sem resolver ainda): vamos derivar ambos os lados da igualdade em relação a x. Aqui é crucial lembrar que y é uma função de x (ou seja, y=y(x)), então quando derivamos qualquer termo que contenha y usamos a regra da cadeia. Relembre as regras que usaremos:
  • Derivada de uma soma: a derivada é a soma das derivadas.
  • Regra do produto: se temos duas funções u(x) e v(x), então
\frac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)=u'\,v+u\,v'.
  • Regra da cadeia para y^2: como y depende de x,
\frac{d}{dx}\bigl(y^2\bigr)=2y\cdot\frac{dy}{dx}=2y\,y'.
Aqui adoto a notação y'=\dfrac{dy}{dx}. Vou aplicar essas regras termo a termo.

Passo 3

Derivando o membro esquerdo \;2xy+y^{2}\; termo a termo:
  • Para \;2xy\;: é uma constante 2 vezes o produto x\cdot y. Use a regra do produto em x\cdot y:
\frac{d}{dx}(x\cdot y)=\frac{d}{dx}(x)\cdot y + x\cdot\frac{d}{dx}(y)=1\cdot y + x\cdot y' = y + x y'.
Multiplicando por 2
\frac{d}{dx}(2xy)=2(y + x y')=2y + 2x y'.
  • Para \;y^{2}\;: usando regra da cadeia,
\frac{d}{dx}(y^{2})=2y\,y'.
Somando os dois resultados:
\frac{d}{dx}\bigl(2xy+y^{2}\bigr)=2y + 2x y' + 2y\,y'.

Passo 4

Derivando o membro direito \;x+y\;:
  • \dfrac{d}{dx}(x)=1.
  • \dfrac{d}{dx}(y)=y'.
    Logo
\frac{d}{dx}(x+y)=1 + y'.

Passo 5

Agora igualamos as derivadas dos dois lados (porque as funções originais são iguais para todo x em que a relação vale):
2y + 2x y' + 2y\,y' = 1 + y'.
O objetivo é isolar y'. Primeiro juntamos os termos que contêm y' no mesmo lado e os termos sem y' no outro:
2x y' + 2y\,y' - y' = 1 - 2y.
Fatorando y' do lado esquerdo:
y'\bigl(2x + 2y - 1\bigr) = 1 - 2y.

Passo 6

Isolando y' dividindo pelo fator (2x+2y-1) (desde que esse fator não seja zero):
y' = \frac{1 - 2y}{2x + 2y - 1}.
Observação prática: se 2x+2y-1=0 a expressão acima não serve (derivada não pode ser obtida dessa forma ali); isso indica pontos em que a inclinação pode ser indefinida ou onde a função implicada não satisfaz as hipóteses usuais para resolver por essa fórmula.

Passo 7

Para fixar a ideia, um exemplo rápido: escolha x=0. A equação original vira \;y^{2}=y\;, ou seja y=0 ou y=1. Calculando y' nas duas soluções:
  • Para (0,0): \;y'=\dfrac{1-2\cdot 0}{2\cdot 0 + 2\cdot 0 -1}=\dfrac{1}{-1}=-1.
  • Para (0,1): \;y'=\dfrac{1-2\cdot 1}{2\cdot 0 + 2\cdot 1 -1}=\dfrac{-1}{1}=-1.
    Ambos dão declive -1, só para ver a fórmula em ação.

Resposta

\frac{d y}{d x}=\frac{1-2y}{2x+2y-1}

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