Use a derivação implícita para determinar \frac{d y}{d x} nos exercícios a seguir
x^{2} y+x y^{2}=6

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada \frac{dy}{dx} usando derivação implícita para a equação
x^{2}y + x y^{2} = 6.
Informações dadas:
  • Temos uma relação entre x e y: \;x^{2}y + x y^{2} = 6.
  • y é tratada como função de x, ou seja, y = y(x).
  • A tarefa é determinar explicitamente \frac{dy}{dx}.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática): como y depende de x implicitamente, diferenciamos ambos os lados da igualdade em relação a x. Ao diferenciar termos que são produto de funções de x usamos a regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
\frac{d}{dx}\big(u v\big) = u'\,v + u\,v',
onde u'=\frac{du}{dx} e v'=\frac{dv}{dx}.
Ao diferenciar potências de y(x) usamos também a regra da cadeia: por exemplo,
\frac{d}{dx}\big(y(x)^{2}\big)=2\,y(x)\,\frac{dy}{dx}.
A derivada de uma constante (como \;6) é \;0.

Passo 3

Diferenciando o primeiro termo \;x^{2}y:
  • Tome u(x)=x^{2} e v(x)=y(x).
  • Então u'(x)=2x e v'(x)=\frac{dy}{dx}.
    Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=2x\cdot y + x^{2}\cdot \frac{dy}{dx}.

Passo 4

Diferenciando o segundo termo \;x y^{2}:
  • Tome u(x)=x e v(x)=y(x)^{2}.
  • Então u'(x)=1 e v'(x)=2y\cdot \frac{dy}{dx} (regra da cadeia).
    Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(x y^{2}\big)=1\cdot y^{2} + x\cdot 2y\cdot\frac{dy}{dx}=y^{2}+2xy\frac{dy}{dx}.

Passo 5

Diferenciando o lado direito: \frac{d}{dx}(6)=0.

Passo 6

Agora some as derivadas dos dois termos e iguale a zero:
\big(2x y + x^{2}\frac{dy}{dx}\big) + \big(y^{2} + 2xy\frac{dy}{dx}\big) = 0.
Agrupando termos com \frac{dy}{dx} e termos sem \frac{dy}{dx}:
x^{2}\frac{dy}{dx} + 2xy\frac{dy}{dx} + 2xy + y^{2} = 0.

Passo 7

Fatore \frac{dy}{dx} nos termos que o contêm:
\big(x^{2} + 2xy\big)\frac{dy}{dx} + \big(2xy + y^{2}\big) = 0.
Agora isole \frac{dy}{dx}: mova o segundo grupo para o outro lado e divida pelo coeficiente de \frac{dy}{dx}:
\big(x^{2} + 2xy\big)\frac{dy}{dx} = -\big(2xy + y^{2}\big),
portanto
\frac{dy}{dx} = -\frac{2xy + y^{2}}{x^{2} + 2xy}.

Passo 8

Observação prática e dica de prova: podemos fatorar numerador e denominador se quiser ver estrutura,
2xy + y^{2} = y(2x + y),\qquad x^{2} + 2xy = x(x + 2y),
mas não há cancelamento geral entre esses fatores, então a forma final anterior é a que usamos. Se quiser checar num ponto válido, por exemplo (x,y)=(1,2) (que satisfaz a equação original), basta substituir e obter \frac{dy}{dx}=-\dfrac{8}{5}, o que ajuda a verificar que os sinais e fatores estão corretos.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{2xy + y^{2}}{x^{2} + 2xy}

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