Use a derivação implícita para determinar
nos exercícios a seguir
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada
usando derivação implícita para a equação
Informações dadas:
- Temos uma relação entre
e : . -
é tratada como função de , ou seja, . - A tarefa é determinar explicitamente
.
Passo 2
Ideia geral (explicação didática): como
depende de
implicitamente, diferenciamos ambos os lados da igualdade em relação a
. Ao diferenciar termos que são produto de funções de
usamos a regra do produto: se
e
são funções, então
onde
e
.
Ao diferenciar potências de usamos também a regra da cadeia: por exemplo,
Ao diferenciar potências de
A derivada de uma constante (como
) é
.
Passo 3
Diferenciando o primeiro termo
:
- Tome
e . - Então
e .
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Diferenciando o segundo termo
:
- Tome
e . - Então
e (regra da cadeia).
Aplicando a regra do produto:
Passo 5
Diferenciando o lado direito:
.
Passo 6
Agora some as derivadas dos dois termos e iguale a zero:
Agrupando termos com
e termos sem
:
Passo 7
Fatore
nos termos que o contêm:
Agora isole
: mova o segundo grupo para o outro lado e divida pelo coeficiente de
:
portanto
Passo 8
Observação prática e dica de prova: podemos fatorar numerador e denominador se quiser ver estrutura,
mas não há cancelamento geral entre esses fatores, então a forma final anterior é a que usamos. Se quiser checar num ponto válido, por exemplo
(que satisfaz a equação original), basta substituir e obter
, o que ajuda a verificar que os sinais e fatores estão corretos.