Use a derivação implícita para determinar
Passo 1
O enunciado dá a equação que relaciona
e
:
O que pedem é determinar
, ou seja, a derivada de
em relação a
quando
é vista como função implícita de
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A igualdade envolve funções de
e de misturadas: depende de (logo de indiretamente) e depende de . - O termo
é um produto entre (variável independente) e (função implícita). - Precisamos aplicar regras de diferenciação (cadeia e produto) para derivar ambos os lados em relação a
e então isolar .
Passo 2
Diferenciamos ambos os lados da igualdade em relação a
. Vou fazer passo a passo e explicar cada regra usada.
Primeiro, à esquerda temos um produto
com
e
. A regra do produto diz que
Aqui:
- Para
, como depende de , usamos a regra da cadeia: a derivada de em relação a é . - Para
, a derivada em relação a é .
Portanto a derivada do lado esquerdo é
Passo 3
Agora derivamos o lado direito
.
- A derivada de
é . - Para
aplicamos novamente a regra do produto, agora com (derivada ) e (derivada ). Assim
Somando as partes, a derivada do lado direito é
Passo 4
Igualamos as derivadas obtidas nos dois lados:
Agora vamos isolar os termos que contêm
. Trago o termo
para o lado esquerdo e o termo
para o lado direito:
Passo 5
Fatoramos
no lado esquerdo:
Agora, desde que
, dividimos ambos os lados por esse fator para obter
:
Observação rápida: se
em algum ponto, a expressão acima não é válida ali (poderia indicar derivada infinita ou necessidade de análise adicional do ponto), mas para os pontos onde o denominador é diferente de zero essa é a derivada.