Use a derivação implícita para determinar \frac{d y}{d x}
e^{y} \operatorname{sen} x=x+x y

Passo 1

O enunciado dá a equação que relaciona x e y:
e^{y}\,\sin x = x + x y.
O que pedem é determinar \dfrac{d y}{d x}, ou seja, a derivada de y em relação a x quando y é vista como função implícita de x.
Informações relevantes que temos:
  • A igualdade envolve funções de x e de y misturadas: e^{y} depende de y (logo de x indiretamente) e \sin x depende de x.
  • O termo x y é um produto entre x (variável independente) e y(x) (função implícita).
  • Precisamos aplicar regras de diferenciação (cadeia e produto) para derivar ambos os lados em relação a x e então isolar \dfrac{d y}{d x}.

Passo 2

Diferenciamos ambos os lados da igualdade em relação a x. Vou fazer passo a passo e explicar cada regra usada.
Primeiro, à esquerda temos um produto u\cdot v com u=e^{y} e v=\sin x. A regra do produto diz que
(u v)' = u'v + u v'.
Aqui:
  • Para u=e^{y}, como y depende de x, usamos a regra da cadeia: a derivada de e^{y} em relação a x é e^{y}\cdot \dfrac{d y}{d x}.
  • Para v=\sin x, a derivada em relação a x é \cos x.
Portanto a derivada do lado esquerdo é
\frac{d}{dx}\big(e^{y}\sin x\big) = \big(e^{y}\big)'\sin x + e^{y}\big(\sin x\big)' = e^{y}\frac{d y}{d x}\sin x + e^{y}\cos x.

Passo 3

Agora derivamos o lado direito x + x y.
  • A derivada de x é 1.
  • Para x y aplicamos novamente a regra do produto, agora com u=x (derivada 1) e v=y(x) (derivada \dfrac{d y}{d x}). Assim
\frac{d}{dx}(x y) = 1\cdot y + x\cdot\frac{d y}{d x} = y + x\frac{d y}{d x}.
Somando as partes, a derivada do lado direito é
\frac{d}{dx}\big(x + x y\big) = 1 + y + x\frac{d y}{d x}.

Passo 4

Igualamos as derivadas obtidas nos dois lados:
e^{y}\frac{d y}{d x}\sin x + e^{y}\cos x = 1 + y + x\frac{d y}{d x}.
Agora vamos isolar os termos que contêm \dfrac{d y}{d x}. Trago o termo x\frac{d y}{d x} para o lado esquerdo e o termo e^{y}\cos x para o lado direito:
e^{y}\sin x\frac{d y}{d x} - x\frac{d y}{d x} = 1 + y - e^{y}\cos x.

Passo 5

Fatoramos \dfrac{d y}{d x} no lado esquerdo:
\big(e^{y}\sin x - x\big)\frac{d y}{d x} = 1 + y - e^{y}\cos x.
Agora, desde que \big(e^{y}\sin x - x\big)\neq 0, dividimos ambos os lados por esse fator para obter \dfrac{d y}{d x}:
\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y - e^{y}\cos x}{e^{y}\sin x - x}.
Observação rápida: se e^{y}\sin x - x = 0 em algum ponto, a expressão acima não é válida ali (poderia indicar derivada infinita ou necessidade de análise adicional do ponto), mas para os pontos onde o denominador é diferente de zero essa é a derivada.

Resposta

\frac{d y}{d x}=\frac{1 + y - e^{y}\cos x}{e^{y}\sin x - x}

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