Use a regra da cadeia para determinar
ou
)
)
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada temporal da função
em função de
. As informações dadas são:
com as relações entre as variáveis
Portanto queremos calcular
sabendo que
dependem de
.
Passo 2
Vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se
e
dependem de
, então
Explicando:
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixos; depois multiplicamos por
, que é a taxa de variação de
com
. Repetimos para
e
e somamos — é a forma direta da regra da cadeia para três variáveis.
Passo 3
Precisamos das derivadas parciais de
. Como
, tratamos
e
como produto:
- Derivada parcial em relação a
:
Isso porque derivar
dá
e a exponencial é vista como constante quando derivamos por
.
- Derivada parcial em relação a
:
Usamos que(a razão: derivada do expoente em relação a é pois é tratado como constante).
- Derivada parcial em relação a
:
Aqui derivamos o expoenteem relação a mantendo fixo. A derivada de em relação a é . Assim,
Passo 4
Agora calculamos as derivadas de
em relação a
:
Passo 5
Aplicando a fórmula da regra da cadeia:
Colocando
em evidência:
Passo 6
Substituímos
,
e
na expressão anterior:
Podemos simplificar a combinação entre parênteses para escrever com um denominador comum
. Fazendo as contas (mostradas abaixo):
Ao somar os numeradores obtemos
Assim a forma simplificada é