Use a regra da cadeia para determinar \frac{d z}{d t} ou \frac{d w}{d t}
w=x e^{\frac{y}{z}}\, se \(x=t^{2}, y=1-t, z=1+2 t)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada temporal da função w em função de t. As informações dadas são:
w = x e^{\frac{y}{z}},
com as relações entre as variáveis
x = t^{2},\quad y = 1-t,\quad z = 1+2t.
Portanto queremos calcular \dfrac{d w}{d t} sabendo que x,y,z dependem de t.

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se w=w(x,y,z) e x,y,z dependem de t, então
\frac{d w}{d t} = \frac{\partial w}{\partial x}\frac{d x}{d t} + \frac{\partial w}{\partial y}\frac{d y}{d t} + \frac{\partial w}{\partial z}\frac{d z}{d t}.
Explicando: \dfrac{\partial w}{\partial x} é a derivada parcial de w em relação a x mantendo y,z fixos; depois multiplicamos por \dfrac{d x}{d t}, que é a taxa de variação de x com t. Repetimos para y e z e somamos — é a forma direta da regra da cadeia para três variáveis.

Passo 3

Precisamos das derivadas parciais de w. Como w = x \exp\!\big(\tfrac{y}{z}\big), tratamos x e \exp(y/z) como produto:
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial w}{\partial x} = e^{\frac{y}{z}}.
Isso porque derivar x 1 e a exponencial é vista como constante quando derivamos por x.
  • Derivada parcial em relação a y:
    Usamos que \dfrac{d}{dy} e^{y/z} = \frac{1}{z} e^{y/z} (a razão: derivada do expoente y/z em relação a y é 1/z pois z é tratado como constante).
\frac{\partial w}{\partial y} = x \cdot \frac{1}{z} e^{\frac{y}{z}} = \frac{x}{z} e^{\frac{y}{z}}.
  • Derivada parcial em relação a z:
    Aqui derivamos o expoente y/z em relação a z mantendo y fixo. A derivada de y/z em relação a z é -\dfrac{y}{z^{2}}. Assim,
\frac{\partial w}{\partial z} = x \cdot \left(-\frac{y}{z^{2}}\right) e^{\frac{y}{z}} = -\frac{x y}{z^{2}} e^{\frac{y}{z}}.

Passo 4

Agora calculamos as derivadas de x,y,z em relação a t:
\frac{d x}{d t} = \frac{d}{d t}(t^{2}) = 2t,
\frac{d y}{d t} = \frac{d}{d t}(1-t) = -1,
\frac{d z}{d t} = \frac{d}{d t}(1+2t) = 2.

Passo 5

Aplicando a fórmula da regra da cadeia:
\frac{d w}{d t} = e^{\frac{y}{z}}\cdot(2t) + \frac{x}{z} e^{\frac{y}{z}}\cdot(-1) + \left(-\frac{x y}{z^{2}} e^{\frac{y}{z}}\right)\cdot 2.
Colocando e^{\frac{y}{z}} em evidência:
\frac{d w}{d t} = e^{\frac{y}{z}}\left(2t - \frac{x}{z} - \frac{2 x y}{z^{2}}\right).

Passo 6

Substituímos x=t^{2}, y=1-t e z=1+2t na expressão anterior:
\frac{d w}{d t} = e^{\frac{1-t}{1+2t}}\left(2t - \frac{t^{2}}{1+2t} - \frac{2 t^{2}(1-t)}{(1+2t)^{2}}\right).
Podemos simplificar a combinação entre parênteses para escrever com um denominador comum (1+2t)^{2}. Fazendo as contas (mostradas abaixo):
2t = \frac{2t(1+2t)^{2}}{(1+2t)^{2}},\quad \frac{t^{2}}{1+2t} = \frac{t^{2}(1+2t)}{(1+2t)^{2}},\quad \frac{2 t^{2}(1-t)}{(1+2t)^{2}} \text{ já tem o denominador }(1+2t)^{2}.á
Ao somar os numeradores obtemos
2t + 5t^{2} + 8t^{3} = t(2 + 5t + 8t^{2}).
Assim a forma simplificada é
\frac{d w}{d t} = e^{\frac{1-t}{1+2t}}\cdot \frac{t(2 + 5t + 8t^{2})}{(1+2t)^{2}}.

Resposta

\frac{d w}{d t}=e^{\frac{1-t}{1+2t}}\cdot \frac{t(2 + 5t + 8t^{2})}{(1+2t)^{2}}

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