Use a derivação implícita para determinar \frac{\delta z}{\delta x} e \frac{\delta z}{\delta y}
x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=1

Passo 1

O enunciado dá a relação
x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=1
e pede para determinar \frac{\delta z}{\delta x} e \frac{\delta z}{\delta y}. Informações relevantes:
  • A igualdade relaciona x, y e z; portanto z é assumida como função implícita de x e y, ou seja z=z(x,y).
  • Para calcular \frac{\delta z}{\delta x} temos que diferenciar a igualdade mantendo y constante.
  • Para calcular \frac{\delta z}{\delta y} temos que diferenciar a igualdade mantendo x constante.
  • Não há valores numéricos fornecidos; queremos as expressões gerais em termos de x,y,z.

Passo 2

Explicação do método (cadeia implícita): seja uma função
F(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+3z^{2}-1.
Como F(x,y,z)=0 para os pontos da superfície, se diferenciarmos F em relação a x (com y fixo) obtemos, pela regra da cadeia,
\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial z}\,\frac{\delta z}{\delta x}=0.
Isso vem da ideia: quando z depende de x, a derivada de F(x,y,z(x,y)) em x soma a derivada direta em x e a contribuição de z via \partial F/\partial z vezes \delta z/\delta x. Analogamente, diferenciando em relação a y (com x fixo) temos
\frac{\partial F}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial z}\,\frac{\delta z}{\delta y}=0.
Da última fórmula isolamos as derivadas parciais de z:
\frac{\delta z}{\delta x} = -\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial z}, \qquad \frac{\delta z}{\delta y} = -\frac{\partial F/\partial y}{\partial F/\partial z},
desde que \partial F/\partial z\neq 0 (ou seja, z\neq 0 neste caso).

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de F. Lembremos: ao calcular \partial/\partial x tratamos y e z (antes de aplicar cadeia) como variáveis — mas z depende de x, então a parte que envolve z exige a cadeia. Aqui vamos apenas computar as parciais diretas necessárias:
\frac{\partial F}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}+2y^{2}+3z^{2}-1\big)=2x,
pois 2y^{2} e -1 não dependem de x e a derivada de x^{2} é 2x.
\frac{\partial F}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}+2y^{2}+3z^{2}-1\big)=4y,
pois a derivada de 2y^{2} é 4y e as outras parcelas não dependem de y.
\frac{\partial F}{\partial z}= \frac{\partial}{\partial z}\big(x^{2}+2y^{2}+3z^{2}-1\big)=6z,
pois a derivada de 3z^{2} em relação a z é 6z.

Passo 4

Agora aplicamos as fórmulas do Passo 2. Para \frac{\delta z}{\delta x}:
2x + 6z\frac{\delta z}{\delta x}=0.
Isolando \frac{\delta z}{\delta x} obtemos
6z\frac{\delta z}{\delta x} = -2x,
\frac{\delta z}{\delta x} = -\frac{2x}{6z} = -\frac{x}{3z},
onde simplificamos o fator comum 2.

Passo 5

Para \frac{\delta z}{\delta y}:
4y + 6z\frac{\delta z}{\delta y}=0.
Isolando \frac{\delta z}{\delta y} obtemos
6z\frac{\delta z}{\delta y} = -4y,
\frac{\delta z}{\delta y} = -\frac{4y}{6z} = -\frac{2y}{3z},
onde simplificamos dividindo numerador e denominador por 2.

Passo 6

Observações úteis para a prova:
  • As expressões finais exigem z\neq 0 (pois dividimos por 6z). Se z=0 naquele ponto a derivada parcial não pode ser obtida por essa razão (a superfície pode não ser representável como função suave z(x,y) ali).
  • Um exemplo rápido: se x=0 e y=0 então da equação obtemos 3z^{2}=1, ou seja z=\pm 1/\sqrt{3}. Nesse caso
\frac{\delta z}{\delta x} = -\frac{0}{3z}=0,\qquad \frac{\delta z}{\delta y} = -\frac{0}{3z}=0,
o que faz sentido: em cima do eixo onde x e y são zeros, pequenos movimentos em x ou y não mudam z até a primeira ordem.

Resposta

\displaystyle \frac{\delta z}{\delta x}=-\frac{x}{3z} \n
\displaystyle \frac{\delta z}{\delta y}=-\frac{2y}{3z}

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