Use a derivação implícita para determinar
e
Passo 1
O enunciado dá a relação
e pede para determinar
e
. Informações relevantes:
- A igualdade relaciona
, e ; portanto é assumida como função implícita de e , ou seja . - Para calcular
temos que diferenciar a igualdade mantendo constante. - Para calcular
temos que diferenciar a igualdade mantendo constante. - Não há valores numéricos fornecidos; queremos as expressões gerais em termos de
.
Passo 2
Explicação do método (cadeia implícita): seja uma função
Como
para os pontos da superfície, se diferenciarmos
em relação a
(com
fixo) obtemos, pela regra da cadeia,
Isso vem da ideia: quando
depende de
, a derivada de
em
soma a derivada direta em
e a contribuição de
via
vezes
. Analogamente, diferenciando em relação a
(com
fixo) temos
Da última fórmula isolamos as derivadas parciais de
:
desde que
(ou seja,
neste caso).
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
. Lembremos: ao calcular
tratamos
e
(antes de aplicar cadeia) como variáveis — mas
depende de
, então a parte que envolve
exige a cadeia. Aqui vamos apenas computar as parciais diretas necessárias:
pois
e
não dependem de
e a derivada de
é
.
pois a derivada de
é
e as outras parcelas não dependem de
.
pois a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Agora aplicamos as fórmulas do Passo 2. Para
:
Isolando
obtemos
onde simplificamos o fator comum
.
Passo 5
Para
:
Isolando
obtemos
onde simplificamos dividindo numerador e denominador por
.
Passo 6
Observações úteis para a prova:
- As expressões finais exigem
(pois dividimos por ). Se naquele ponto a derivada parcial não pode ser obtida por essa razão (a superfície pode não ser representável como função suave ali). - Um exemplo rápido: se
e então da equação obtemos , ou seja . Nesse caso
o que faz sentido: em cima do eixo onde
e
são zeros, pequenos movimentos em
ou
não mudam
até a primeira ordem.