Utilize a regra da cadeia para determinar
, se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
O que nos pedem é calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 2
Vamos usar a fórmula de diferenciação por cadeias para funções de várias variáveis. Se
e
, então
Explicando os símbolos:
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo;
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo; e assim por diante. Essa é a regra da cadeia para o caso com duas variáveis internas.
Passo 3
Calculemos primeiro as derivadas parciais de
em relação a
e a
. Como
, podemos ver
como
com
. A derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada de
em relação à variável desejada.
Portanto,
Aqui expliquei: ao diferenciar
em relação a
trata-se
como constante, então dá
; em relação a
dá
.
Passo 4
Agora calculamos as derivadas parciais de
e
em relação a
e
. Recorde rápido: para
tratamos
como constante quando derivamos em relação a
, e vice-versa.
- Para
:
Expliquei: usei
como constante ao derivar em relação a
e a regra da potência para
.
- Para
:
Aqui, ao derivar em relação a
tratamos
como constante.
Passo 5
Agora montamos
usando a fórmula da cadeia e substituindo os termos que já calculamos:
Fatorando
obtemos
Como o enunciado dá
e
, podemos escrever
em termos de
:
Assim uma forma totalmente em
é
Passo 6
Agora montamos
com os valores já obtidos:
Fatorando
obtemos
Substituindo
e
em termos de
temos a forma final