Utilize a regra da cadeia para determinar \frac{\partial z}{\partial s} e \frac{\partial z}{\partial t}
\quad z=e^{x+2 y}, se x=\frac{s}{t}, y=\frac{t}{s}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
z = e^{x+2y},
x = \frac{s}{t},\qquad y = \frac{t}{s}.
O que nos pedem é calcular as derivadas parciais \displaystyle \frac{\partial z}{\partial s} e \displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de diferenciação por cadeias para funções de várias variáveis. Se z=z(x,y) e x=x(s,t),\,y=y(s,t), então
\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s},
\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}.
Explicando os símbolos: \frac{\partial z}{\partial x} é a derivada parcial de z em relação a x mantendo y fixo; \frac{\partial x}{\partial s} é a derivada parcial de x em relação a s mantendo t fixo; e assim por diante. Essa é a regra da cadeia para o caso com duas variáveis internas.

Passo 3

Calculemos primeiro as derivadas parciais de z em relação a x e a y. Como z=e^{x+2y}, podemos ver z como e^{u} com u=x+2y. A derivada de e^{u} em relação a u é e^{u}, e depois multiplicamos pela derivada de u em relação à variável desejada.
Portanto,
\frac{\partial z}{\partial x} = e^{x+2y}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+2y) = e^{x+2y}\cdot 1 = e^{x+2y},
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{x+2y}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x+2y) = e^{x+2y}\cdot 2 = 2e^{x+2y}.
Aqui expliquei: ao diferenciar x+2y em relação a x trata-se y como constante, então dá 1; em relação a y 2.

Passo 4

Agora calculamos as derivadas parciais de x e y em relação a s e t. Recorde rápido: para x=\dfrac{s}{t} tratamos t como constante quando derivamos em relação a s, e vice-versa.
  • Para x=\dfrac{s}{t}:
\frac{\partial x}{\partial s} = \frac{1}{t},
\frac{\partial x}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\left(s\cdot t^{-1}\right)=s\cdot(-1)t^{-2} = -\frac{s}{t^{2}}.
Expliquei: usei s como constante ao derivar em relação a t e a regra da potência para t^{-1}.
  • Para y=\dfrac{t}{s}:
\frac{\partial y}{\partial s} = \frac{\partial}{\partial s}\left(t\cdot s^{-1}\right)=t\cdot(-1)s^{-2} = -\frac{t}{s^{2}},
\frac{\partial y}{\partial t} = \frac{1}{s}.
Aqui, ao derivar em relação a s tratamos t como constante.

Passo 5

Agora montamos \displaystyle \frac{\partial z}{\partial s} usando a fórmula da cadeia e substituindo os termos que já calculamos:
\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s} = e^{x+2y}\cdot\frac{1}{t} + 2e^{x+2y}\cdot\left(-\frac{t}{s^{2}}\right).
Fatorando e^{x+2y} obtemos
\frac{\partial z}{\partial s} = e^{x+2y}\left(\frac{1}{t} - \frac{2t}{s^{2}}\right).
Como o enunciado dá x=\dfrac{s}{t} e y=\dfrac{t}{s}, podemos escrever e^{x+2y} em termos de s,t:
e^{x+2y} = e^{\frac{s}{t} + 2\frac{t}{s}}.
Assim uma forma totalmente em s,t é
\frac{\partial z}{\partial s} = e^{\frac{s}{t} + 2\frac{t}{s}}\left(\frac{1}{t} - \frac{2t}{s^{2}}\right).

Passo 6

Agora montamos \displaystyle \frac{\partial z}{\partial t} com os valores já obtidos:
\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} = e^{x+2y}\cdot\left(-\frac{s}{t^{2}}\right) + 2e^{x+2y}\cdot\frac{1}{s}.
Fatorando e^{x+2y} obtemos
\frac{\partial z}{\partial t} = e^{x+2y}\left(-\frac{s}{t^{2}} + \frac{2}{s}\right).
Substituindo x e y em termos de s,t temos a forma final
\frac{\partial z}{\partial t} = e^{\frac{s}{t} + 2\frac{t}{s}}\left(\frac{2}{s} - \frac{s}{t^{2}}\right).

Resposta

\frac{\partial z}{\partial s}=e^{\frac{s}{t}+2\frac{t}{s}}\!\left(\frac{1}{t}-\frac{2t}{s^{2}}\right)
\frac{\partial z}{\partial t}=e^{\frac{s}{t}+2\frac{t}{s}}\!\left(\frac{2}{s}-\frac{s}{t^{2}}\right)

Exercícios relacionados