Use derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente às seguintes curvas nos pontos dados.
x^{4} y 2-x^{3} y+2 x y^{3}=0 no ponto (1, 12).

Passo 1

O enunciado nos dá a curva definida implicitamente por
x^4y^2-x^3y+2x,y^3=0
e pede a reta tangente em l(1,tfrac12r). Vamos usar derivação implícita para achar y' e depois montar a equação da reta com ponto e coeficiente angular.

Passo 2

Derivando ambos os lados de
x^4y^2-x^3y+2x,y^3=0
em relação a x, lembrando que y=y(x), obtemos
ddxl(x^4y^2r)-ddxl(x^3yr)+ddxl(2x,y^3r)=0
Cada termo gera
ddx(x^4y^2)=4x^3y^2+2x^4y,y', ddx(x^3y)=3x^2y+x^3y', ddx(2x,y^3)=2y^3+6x,y^2y'
Logo a soma é
4x^3y^2+2x^4y,y' ;-;l(3x^2y+x^3y'r);+;2y^3+6x,y^2y'=0

Passo 3

Agrupando os termos com y' de um lado e os demais do outro,
l(2x^4y - x^3 +6x,y^2r),y' + l(4x^3y^2-3x^2y+2y^3r)=0
Isolando y',
y' = -4x^3y^2-3x^2y+2y^32x^4y - x^3 +6x,y^2

Passo 4

Substituindo l(x,yr)=l(1,tfrac12r):
numerador = 4cdot1^3l(tfrac12r)^2 -3cdot1^2l(tfrac12r)+2l(tfrac12r)^3 =1 -tfrac32 +tfrac14 = -tfrac14,
denominador = 2cdot1^4l(tfrac12r) -1^3 +6cdot1l(tfrac12r)^2 =1 -1 +tfrac32 = tfrac32
Logo
y'l(1,tfrac12r) = --tfrac14tfrac32 = tfrac14tfrac32 = tfrac16

Passo 5

A reta tangente no ponto l(1,tfrac12r) com coeficiente angular m=tfrac16 é
y - tfrac12 = tfrac16l(x - 1r)

Resposta

A equação da reta tangente é
y - tfrac12 = tfrac16,(x - 1),
ou, em forma explícita,
y = tfrac16x + tfrac13

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