Represente graficamente o domínio da função z=f(u, v) dada por:
x+y-1+z^2=0, z >= 0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e desenhar o domínio de uma função de duas variáveis, digamos (u,v)mapsto z=f(u,v), definida implicitamente por
u + v - 1 + z^2 = 0,
com a condição adicional z>= 0. O conteúdo here é determinar para quais pares (u,v) existe uma solução real não-negativa z e depois representar esse conjunto no plano (u,v).

Passo 2

Da equação implícita temos
z^2 = 1 - u - v
Para que exista z real é preciso
1 - u - v >= 0
Além disso, pedem z>= 0, então escolhemos a raiz positiva
z = raiz,1 - u - v,

Passo 3

A condição em (u,v) que garante 1 - u - v >= 0 é
u + v <= 1
Portanto o domínio DsubsetR^2 é
D = l(u,v)inR^2mid u+v <= 1r

Passo 4

Geometricamente, a fronteira de D é a reta de equação u+v=1, que intercepta os eixos nos pontos (1,0) e (0,1). O domínio é a região fechada (incluindo a reta) que fica “abaixo” dessa reta, ou seja, do lado onde u+v é menor que 1.

Resposta

O domínio é o hemi-plano fechado
(u,v)mid u+v<= 1,
isto é, o conjunto de todos os pontos do plano (u,v) que estão na reta u+v=1 ou em sua região abaixo.

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