Use a derivação implícita para encontrar \partial z / \partial x e \partial z / \partial y.
e^{2}=x y z

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
e^{2} = x\,y\,z
e pede as derivadas parciais \partial z/\partial x e \partial z/\partial y. Vamos usar derivação implícita e regra do produto para funções de várias variáveis.

Passo 2

Para \partial z/\partial x, derivamos a equação em relação a x, tratando y como constante e z=z(x,y). Temos
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,y\,z\bigr) = y\,z + x\,y\,\frac{\partial z}{\partial x}
e como \frac{d}{dx}(e^{2})=0, obtemos
y\,z + x\,y\,\frac{\partial z}{\partial x} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y\,z}{x\,y} = -\frac{z}{x}.

Passo 3

Para \partial z/\partial y, derivamos em relação a y, tratando x como constante. Segue
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,y\,z\bigr) = x\,z + x\,y\,\frac{\partial z}{\partial y} = 0
e assim
x\,z + x\,y\,\frac{\partial z}{\partial y} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x\,z}{x\,y} = -\frac{z}{y}.
Para escrever em função de x e y, usamos z = e^{2}/(x\,y).

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{e^{2}}{x^{2}y}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{e^{2}}{x\,y^{2}}.

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