Use Derivação Implícita para encontrar y^{\prime} nas seguintes equações:
\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=4 x^{3} y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
x^{1/3}+y^{1/3}=4x^3y^2
e pede y' usando derivação implícita. Vamos usar:
  • derivada de x^n é n x^{n-1},
  • derivada de y(x)^n é n\,y^{n-1}y' (regra da cadeia),
  • regra do produto para 4x^3y^2.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/3}\bigr) +\frac{d}{dx}\bigl(y^{1/3}\bigr) =\frac{d}{dx}\bigl(4x^3y^2\bigr).
Calculando termo a termo:
\frac{1}{3}x^{-2/3} +\frac{1}{3}y^{-2/3}y' = 12x^2y^2+4x^3\cdot2y\,y'
ou seja
\frac{1}{3}x^{-2/3} +\frac{1}{3}y^{-2/3}y' = 12x^2y^2+8x^3y\,y'.

Passo 3

Agrupamos os termos com y' de um lado e os demais do outro:
\frac{1}{3}y^{-2/3}y' -8x^3y\,y' = 12x^2y^2-\frac{1}{3}x^{-2/3}.

Passo 4

Fatorando y' no lado esquerdo:
y'\Bigl(\tfrac{1}{3}y^{-2/3}-8x^3y\Bigr) = 12x^2y^2-\tfrac{1}{3}x^{-2/3}.
Logo
y' = \frac{12x^2y^2-\tfrac{1}{3}x^{-2/3}}{\tfrac{1}{3}y^{-2/3}-8x^3y}.

Passo 5

Para simplificar, multiplica-se numerador e denominador por 3:
y' = \frac{36x^2y^2 - x^{-2/3}}{y^{-2/3} - 24x^3y}.

Resposta

y'=\frac{36x^2y^2 - x^{-2/3}}{y^{-2/3} - 24x^3y}.

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