Use Derivação Implícita para encontrar y^{\prime} nas seguintes equações:
2 x^{4}-2 y^{2}=8 x^{2} y^{3}

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
2x^{4}-2y^{2}=8x^{2}y^{3}
e pede \displaystyle y'=\frac{dy}{dx}. O conteúdo é derivação implícita, onde vamos derivar cada termo em x, lembrando que y é função de x e aplicar regra da cadeia e regra do produto.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x.
Para o lado esquerdo:
\frac{d}{dx}\bigl(2x^{4}\bigr)=8x^{3}, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(-2y^{2}\bigr)=-2\cdot 2y\cdot y'=-4y\,y'.
Para o lado direito, \;8x^{2}y^{3}, usamos produto entre 8x^{2} e y^{3}:
\frac{d}{dx}\bigl(8x^{2}y^{3}\bigr) =8\bigl(2x\cdot y^{3}+x^{2}\cdot 3y^{2}y'\bigr) =16x\,y^{3}+24x^{2}y^{2}y'.
Logo a derivada implícita dá
8x^{3}-4y\,y'=16x\,y^{3}+24x^{2}y^{2}y'.

Passo 3

Reunimos os termos que contêm y' num mesmo lado e os outros no lado oposto:
8x^{3}-16x\,y^{3} =24x^{2}y^{2}y'+4y\,y' \quad\Longrightarrow\quad 8x^{3}-16x\,y^{3} =y'\bigl(24x^{2}y^{2}+4y\bigr).
Isolando y':
y' =\frac{8x^{3}-16x\,y^{3}}{24x^{2}y^{2}+4y} =\frac{8x\,(x^{2}-2y^{3})}{4y\,(6x^{2}y+1)} =\frac{2x\,(x^{2}-2y^{3})}{y\,(1+6x^{2}y)}.

Resposta

y'=\frac{2x\,(x^{2}-2y^{3})}{y\,(1+6x^{2}y)}.

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