Use Derivação Implícita para encontrar y^{\prime} nas seguintes equações:
x^{4}+2 y^{3}=4 x^{2} y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x^{4} + 2y^{3} = 4x^{2}y^{2}
e pede y'=\frac{dy}{dx}. Vamos usar derivação implícita, aplicando regra da cadeia quando derivamos termos em y e regra do produto no lado direito.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo:
\frac{d}{dx}(x^{4}) = 4x^{3}, \quad \frac{d}{dx}(2y^{3}) = 2\cdot 3y^{2}\,y' = 6y^{2}y'.
No lado direito, usamos regra do produto em 4x^{2}\cdot y^{2}:
\frac{d}{dx}(4x^{2}y^{2}) =4\bigl(\frac{d}{dx}(x^{2})\cdot y^{2} + x^{2}\cdot \frac{d}{dx}(y^{2})\bigr) =4\bigl(2x\,y^{2} + x^{2}\cdot 2y\,y'\bigr) =8x\,y^{2} + 8x^{2}y\,y'.

Passo 3

Igualando as derivadas:
4x^{3} + 6y^{2}y' = 8x\,y^{2} + 8x^{2}y\,y'.
Agora agrupamos os termos com y' num lado e os demais no outro:
6y^{2}y' - 8x^{2}y\,y' = 8x\,y^{2} - 4x^{3}.

Passo 4

Fatoramos y' no lado esquerdo:
y'\bigl(6y^{2} - 8x^{2}y\bigr) = 8x\,y^{2} - 4x^{3}.

Passo 5

Isolamos y' dividindo pelo fator:
y' = \frac{8x\,y^{2} - 4x^{3}}{6y^{2} - 8x^{2}y}.
Podemos simplificar fatorando 4x no numerador e 2y no denominador:
y' = \frac{4x(2y^{2} - x^{2})}{2y(3y - 4x^{2})} = \frac{2x\,(2y^{2} - x^{2})}{y\,(3y - 4x^{2})}.

Resposta

y' = \frac{2x\,\bigl(2y^{2} - x^{2}\bigr)}{y\,\bigl(3y - 4x^{2}\bigr)}.

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