Use a Regra da Cadeia e calcule a derivada f^{\prime}(x) para as seguintes funções:
f(x)=e^{t g\left(\sqrt[3]{9 x^{3}+2 x}\right)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = e^{\,t\,g\bigl(\sqrt[3]{9x^{3}+2x}\bigr)},
ou seja, temos uma composição de três funções principais:
  1. u(x) = \sqrt[3]{9x^{3}+2x} = (9x^{3}+2x)^{1/3},
  2. v(u) = g(u),
  3. w(v) = t\,v,
  4. h(w) = e^{w}.
    Para diferenciar f(x)=h\bigl(w(v(u(x)))\bigr), vamos aplicar repetidamente a Regra da Cadeia.

Passo 2

Derivando a camada mais externa, usamos que \frac{d}{dw}e^{w}=e^{w}. Assim, se chamarmos
W(x)=t\,g\bigl(u(x)\bigr),
então
\frac{df}{dx} =\frac{d}{dx}e^{W(x)} =e^{W(x)}\cdot W'(x).

Passo 3

Agora derivamos
W(x)=t\;g\bigl(u(x)\bigr).
Aqui t é constante, então
W'(x) =t\;\frac{d}{dx}g\bigl(u(x)\bigr) =t\;g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x),
pela Regra da Cadeia aplicada a g(u(x)).

Passo 4

Falta achar
u(x)=(9x^{3}+2x)^{1/3}.
Usando a Regra da Cadeia de novo,
u'(x) =\frac{1}{3}(9x^{3}+2x)^{-2/3}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(9x^{3}+2x\bigr).
E
\frac{d}{dx}(9x^{3}+2x) =27x^{2}+2.
Logo
u'(x) =\frac{1}{3}(9x^{3}+2x)^{-2/3}\,(27x^{2}+2).

Passo 5

Juntando tudo:
W'(x) =t\;g'\bigl(u(x)\bigr)\;\frac{1}{3}(9x^{3}+2x)^{-2/3}\,(27x^{2}+2).
E
f'(x) =e^{W(x)}\;W'(x) =e^{\,t\,g(u(x))}\;t\;g'\bigl(u(x)\bigr)\; \frac{27x^{2}+2}{3\,(9x^{3}+2x)^{2/3}}.

Resposta

f'(x) =e^{\,t\,g\bigl((9x^{3}+2x)^{1/3}\bigr)}\; t\;g'\bigl((9x^{3}+2x)^{1/3}\bigr)\; \frac{27x^{2}+2}{3\,(9x^{3}+2x)^{2/3}}.

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