Use a Regra da Cadeia e calcule a derivada f^{\prime}(x) para as seguintes funções:
f(x)=x \operatorname{Cos}^{-1}\left(x^{2}\right)+\ln \left(\sqrt{2 x^{2}+e^{x}}\right)

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=x\,\operatorname{arccos}\bigl(x^{2}\bigr)+\ln\!\bigl(\sqrt{2x^{2}+e^{x}}\bigr)
e pede f'(x). Vamos usar:
– Regra do Produto para x\cdot\operatorname{arccos}(x^2).
– Derivada \displaystyle\frac{d}{dx}[\operatorname{arccos}(u)]=-\frac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}}.
– Propriedade \ln(\sqrt{A})=\tfrac12\ln(A) e Regra da Cadeia em \ln.

Passo 2

Derivando o primeiro termo por Regra do Produto:
\frac{d}{dx}\bigl[x\,\operatorname{arccos}(x^{2})\bigr] =1\cdot\operatorname{arccos}(x^{2}) + x\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arccos}(x^{2})\bigr].
Como \,u=x^2\implies u'=2x e
\frac{d}{dx}[\operatorname{arccos}(u)] =-\frac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}} =-\frac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}},
temos
\frac{d}{dx}\bigl[x\,\operatorname{arccos}(x^{2})\bigr] =\operatorname{arccos}(x^{2}) - x\cdot\frac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}} =\operatorname{arccos}(x^{2}) -\frac{2x^{2}}{\sqrt{1-x^{4}}}.

Passo 3

Reescrevemos o segundo termo usando
\ln\!\bigl(\sqrt{2x^{2}+e^{x}}\bigr) =\tfrac12\,\ln\!\bigl(2x^{2}+e^{x}\bigr).

Passo 4

Derivando \tfrac12\ln(2x^{2}+e^{x}) pela Regra da Cadeia:
\frac{d}{dx}\Bigl[\tfrac12\ln(2x^{2}+e^{x})\Bigr] =\tfrac12\cdot\frac{4x+e^{x}}{2x^{2}+e^{x}} =\frac{4x+e^{x}}{2\,(2x^{2}+e^{x})}.

Passo 5

Somando as duas derivadas, obtemos
f'(x) =\bigl[\operatorname{arccos}(x^{2})-\tfrac{2x^{2}}{\sqrt{1-x^{4}}}\bigr] +\frac{4x+e^{x}}{2\,(2x^{2}+e^{x})}.

Resposta

f'(x) =\operatorname{arccos}(x^{2}) -\frac{2x^{2}}{\sqrt{1-x^{4}}} +\frac{4x+e^{x}}{2\,(2x^{2}+e^{x})}.

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