Use derivação implícita para obter d y / d x.
x^2-x^2 y+x y^2+y^2=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação usando derivação implícita. A equação que a gente tem é:
x^2 - x^2 y + x y^2 + y^2 = 1
A matéria que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente a derivação implícita. Isso é útil quando a y está misturada com o x e não está isolada. Para resolver, vamos derivar cada termo com respeito a x e depois isolar .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a x:
  • A derivada de é .
  • Para , usamos a regra do produto: derivamos e multiplicamos por y, mais vezes a derivada de y. Fica .
  • Para , também usamos a regra do produto: derivada de x é 1, multiplicado por , mais x vezes a derivada de , que é . Fica .
  • A derivada de é .
  • A derivada de 1 é 0.

Passo 3

Colocando tudo isso na equação derivada:
2x - 2x y - x^2 dydx + y^2 + 2x y dydx + 2y dydx = 0

Passo 4

Agora, vamos reunir os termos que têm -x^2 dydx + 2x y dydx + 2y dydx = -2x + 2x y - y^2 de um lado e os demais do outro:

Passo 5

Fatorando dydx (-x^2 + 2x y + 2y) = -2x + 2x y - y^2 no lado esquerdo:

Passo 6

Finalmente, isolamos dydx = -2x + 2x y - y^2-x^2 + 2x y + 2y dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando:

Resposta

A derivada dydx = -2x + 2x y - y^2-x^2 + 2x y + 2y é:

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