Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função.
f(x)=\sqrt{x} e^{x}\left(x^{2}+1\right)^{10}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\sqrt{x}\,e^{x}\,(x^{2}+1)^{10} usando derivação logarítmica. Vamos aplicar \ln em ambos os lados para simplificar o produto de fatores.

Passo 2

Tomamos logaritmo natural de f:
\ln f(x)=\ln\bigl(\sqrt{x}\bigr)+\ln\bigl(e^{x}\bigr)+\ln\bigl((x^{2}+1)^{10}\bigr).
Como \sqrt{x}=x^{1/2} e \ln(e^{x})=x, fica
\ln f(x)=\tfrac12\ln x +x +10\ln(x^{2}+1).

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação a x. Usamos \frac{d}{dx}\ln f(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}, \frac{d}{dx}\ln x=\frac1x e \frac{d}{dx}\ln(x^{2}+1)=\frac{2x}{x^{2}+1}:
\frac{f'(x)}{f(x)} =\frac12\cdot\frac1x +1 +10\cdot\frac{2x}{x^{2}+1} =\frac{1}{2x}+1+\frac{20x}{x^{2}+1}.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por f(x) para obter f'(x):
f'(x) =f(x)\Bigl(\tfrac{1}{2x}+1+\tfrac{20x}{x^{2}+1}\Bigr) =\sqrt{x}\,e^{x}\,(x^{2}+1)^{10} \Bigl(\frac{1}{2x}+1+\frac{20x}{x^{2}+1}\Bigr).

Resposta

f'(x)=\sqrt{x}\,e^{x}\,(x^{2}+1)^{10}\displaystyle\Bigl(\frac{1}{2x}+1+\frac{20x}{x^{2}+1}\Bigr)

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