Verifique a continuidade das seguintes funções nos pontos indicados:
f(x, y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x-y} \quad em \quad(2,2).

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade da função
f(x,y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x-y}
no ponto (2,2). O conteúdo envolvido é continuidade de funções de duas variáveis, que exige que (i) o ponto esteja no domínio de f e (ii) o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(2,2) exista e seja igual a f(2,2).

Passo 2

Observamos o domínio de f: o denominador x-y não pode ser zero. Logo
\operatorname{dom}f=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\neq y\}.
Como em (2,2) temos x-y=0, o ponto (2,2) não pertence ao domínio de f. Logo f não está definida em (2,2) e, por consequência, não pode ser contínua ali sem antes ser estendida.

Passo 3

Mesmo não estando definida em (2,2), podemos verificar se há um limite finito quando (x,y)\to(2,2). Para (x,y) com x\neq y, simplificamos:
f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x-y} =\frac{(x-y)(x+y)}{x-y} =x+y.
Portanto
\lim_{(x,y)\to(2,2)}f(x,y) =\lim_{(x,y)\to(2,2)}(x+y) =2+2=4.

Passo 4

Embora o limite exista e valha 4, a função original não está definida em (2,2). Assim, não satisfaz a condição de continuidade (não há valor f(2,2) para comparar com o limite).

Resposta

A função não é contínua em (2,2). Contudo, o limite existe e vale 4; se definíssemos f(2,2)=4, teríamos uma extensão contínua.

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