Verifique a continuidade das seguintes funções nos pontos indicados:
em
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a continuidade da função
no ponto
. O conteúdo envolvido é continuidade de funções de duas variáveis, que exige que (i) o ponto esteja no domínio de
e (ii) o limite de
quando
exista e seja igual a
.
Passo 2
Observamos o domínio de
: o denominador
não pode ser zero. Logo
Como em
temos
, o ponto
não pertence ao domínio de
. Logo
não está definida em
e, por consequência, não pode ser contínua ali sem antes ser estendida.
Passo 3
Mesmo não estando definida em
, podemos verificar se há um limite finito quando
. Para
com
, simplificamos:
Portanto
Passo 4
Embora o limite exista e valha
, a função original não está definida em
. Assim, não satisfaz a condição de continuidade (não há valor
para comparar com o limite).
Resposta
A função não é contínua em
. Contudo, o limite existe e vale
; se definíssemos
, teríamos uma extensão contínua.