Determine o domínio,esboce a região do domínio no plano
e encontre a imagem, de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinarmos (1) o domínio, (2) esboçarmos a região desse domínio no plano
e (3) encontrarmos a imagem. O conteúdo é análise de funções de variável real, envolvendo restrição de domínio (denominador não nulo) e estudo de limites para obter a imagem.
Passo 2
Para achar o domínio, identificamos onde o denominador
é zero. Resolve-se
Logo,
está definida sempre que
. Em notação de intervalos,
Passo 3
A região do domínio no plano
é o conjunto de todos os pontos
tais que
. Geometricamente, isso corresponde ao plano sem a reta vertical
.
Para esboçar:
Para esboçar:
- Desenhe os eixos
e . - Trace uma linha vertical pontilhada em
(essa linha não faz parte do domínio). - Sombreie ou indique livremente as áreas à esquerda (
) e à direita ( ): o domínio é a união desses dois “meios-planos”.
Passo 4
Para encontrar a imagem (o conjunto de valores possíveis de
), analisamos o comportamento de
– Não há
tal que
, pois isso exigiria
.
– Ao aproximar ou
, temos
ou
.
– Ao aproximar , temos
, mas sem nunca atingir
.
Portanto a função assume todos os valores reais, exceto . Em notação de conjunto,
– Ao aproximar
– Ao aproximar
Portanto a função assume todos os valores reais, exceto
Resposta
Domínio:
Região do domínio no plano : o plano completo sem a reta vertical
(linha pontilhada em
, com as duas regiões ao lado)
Imagem:
Região do domínio no plano
Imagem: