Determine o domínio,esboce a região do domínio no plano x y e encontre a imagem, de cada uma das funções abaixo.
h(x)=\frac{1}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede para a função
h(x)=\frac{1}{x-2}
determinarmos (1) o domínio, (2) esboçarmos a região desse domínio no plano xy e (3) encontrarmos a imagem. O conteúdo é análise de funções de variável real, envolvendo restrição de domínio (denominador não nulo) e estudo de limites para obter a imagem.

Passo 2

Para achar o domínio, identificamos onde o denominador x-2 é zero. Resolve-se
x-2=0\quad\Longrightarrow\quad x=2.
Logo, h(x) está definida sempre que x\neq2. Em notação de intervalos,
\text{Domínio}=\bigl(-\infty,2\bigr)\cup\bigl(2,\infty\bigr).í

Passo 3

A região do domínio no plano xy é o conjunto de todos os pontos (x,y) tais que x\neq2. Geometricamente, isso corresponde ao plano sem a reta vertical x=2.
Para esboçar:
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Trace uma linha vertical pontilhada em x=2 (essa linha não faz parte do domínio).
  3. Sombreie ou indique livremente as áreas à esquerda ( x<2) e à direita ( x>2): o domínio é a união desses dois “meios-planos”.

Passo 4

Para encontrar a imagem (o conjunto de valores possíveis de y=h(x)), analisamos o comportamento de
y=\frac{1}{x-2}.
– Não há x tal que \tfrac{1}{x-2}=0, pois isso exigiria 1=0.
– Ao aproximar x\to2^+ ou x\to2^-, temos y\to+\infty ou y\to-\infty.
– Ao aproximar x\to\pm\infty, temos y\to0, mas sem nunca atingir 0.
Portanto a função assume todos os valores reais, exceto 0. Em notação de conjunto,
\text{Imagem}=\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Resposta

Domínio: \bigl(-\infty,2\bigr)\cup\bigl(2,\infty\bigr)
Região do domínio no plano xy: o plano completo sem a reta vertical x=2 (linha pontilhada em x=2, com as duas regiões ao lado)
Imagem: \mathbb{R}\setminus\{0\}

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