Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
d) f(x)=(\ln x)^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função \displaystyle f(x)=(\ln x)^{x} usando derivação logarítmica.
Informações dadas e coisas importantes a observar:
  • A função é \displaystyle f(x)=(\ln x)^{x}.
  • Precisamos encontrar f'(x).
  • Para a função ser real e bem-comportada ao elevar \ln x a uma potência real x, é necessário que \ln x>0, ou seja, x>1. Logo vamos trabalhar no domínio x>1.
  • O enunciado exige usar derivação logarítmica (ou seja, tomar logaritmo natural dos dois lados e diferenciar implicitamente).

Passo 2

Por que usar derivação logarítmica e como ela funciona (aula rápida):
  • Quando temos uma função da forma \displaystyle f(x)=g(x)^{h(x)} com g(x)>0, é muito útil tomar o logaritmo natural: \ln f(x)=h(x)\ln g(x).
  • Depois diferenciamos ambos os lados em relação a x. Do lado esquerdo usamos derivada de \ln f(x), que é \displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)} (isso vem da regra da cadeia: derivada de \ln(u) é u'/u).
  • Do lado direito aplicamos regra do produto e regra da cadeia quando necessário. Por fim isolamos f'(x) e substituímos f(x) de volta.
    Explicando as regras usadas:
  • Derivada de \ln(u(x)) é \displaystyle \frac{u'(x)}{u(x)}. Aqui u é qualquer função de x.
  • Regra do produto: derivada de a(x)b(x) é a'(x)b(x)+a(x)b'(x).
  • Regra da cadeia aparece quando derivamos composições como \ln(\ln x).

Passo 3

Aplicando ao caso: defina \displaystyle y=f(x)=(\ln x)^{x}. Tomamos logaritmo natural dos dois lados:
\ln y = \ln\big((\ln x)^{x}\big).
Usando propriedade dos logaritmos \ln(a^b)=b\ln a, obtemos:
\ln y = x\ln(\ln x).

Passo 4

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. Lado esquerdo: derivada de \ln y é \displaystyle \frac{y'}{y} (regra da cadeia: y é função de x).
Lado direito: é um produto x\cdot \ln(\ln x). Aplicando a regra do produto:
  • derivada de x é 1, então o primeiro termo é 1\cdot \ln(\ln x)=\ln(\ln x);
  • mais x vezes a derivada de \ln(\ln x). Agora a derivada de \ln(\ln x) usa regra da cadeia: se u(x)=\ln x então \ln(\ln x)=\ln(u) e sua derivada é \displaystyle \frac{u'}{u}=\frac{1/x}{\ln x}=\frac{1}{x\ln x}.
    Portanto o segundo termo do produto é x\cdot \frac{1}{x\ln x}=\frac{1}{\ln x}.
Combinando, a derivação do lado direito dá:
\frac{y'}{y} = \ln(\ln x) + \frac{1}{\ln x}.

Passo 5

Isolamos y' multiplicando ambos os lados por y:
y' = y\left(\ln(\ln x) + \frac{1}{\ln x}\right).

Passo 6

Voltamos a escrever y como a função original (\ln x)^{x}. Assim obtemos a expressão final da derivada:
f'(x)=(\ln x)^{x}\left(\ln(\ln x)+\frac{1}{\ln x}\right),
válida para x>1 (para garantir que \ln x>0 e tudo seja real).
Exemplo rápido para ver que faz sentido: em x=e temos \ln e=1, então f(e)=1^{e}=1 e
f'(e)=1\cdot\big(\ln 1 + \tfrac{1}{1}\big)=0+1=1.
Isso mostra como avaliar a fórmula em um ponto concreto.

Resposta

f'(x)=(\ln x)^{x}\left(\ln(\ln x)+\frac{1}{\ln x}\right)

Exercícios relacionados