Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
usando derivação logarítmica.
Informações dadas e coisas importantes a observar:
Informações dadas e coisas importantes a observar:
- A função é
. - Precisamos encontrar
. - Para a função ser real e bem-comportada ao elevar
a uma potência real , é necessário que , ou seja, . Logo vamos trabalhar no domínio . - O enunciado exige usar derivação logarítmica (ou seja, tomar logaritmo natural dos dois lados e diferenciar implicitamente).
Passo 2
Por que usar derivação logarítmica e como ela funciona (aula rápida):
- Quando temos uma função da forma
com , é muito útil tomar o logaritmo natural: . - Depois diferenciamos ambos os lados em relação a
. Do lado esquerdo usamos derivada de , que é (isso vem da regra da cadeia: derivada de é ). - Do lado direito aplicamos regra do produto e regra da cadeia quando necessário. Por fim isolamos
e substituímos de volta.
Explicando as regras usadas: - Derivada de
é . Aqui é qualquer função de . - Regra do produto: derivada de
é . - Regra da cadeia aparece quando derivamos composições como
.
Passo 3
Aplicando ao caso: defina
. Tomamos logaritmo natural dos dois lados:
Usando propriedade dos logaritmos
, obtemos:
Passo 4
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a
. Lado esquerdo: derivada de
é
(regra da cadeia:
é função de
).
Lado direito: é um produto . Aplicando a regra do produto:
Lado direito: é um produto
- derivada de
é , então o primeiro termo é ; - mais
vezes a derivada de . Agora a derivada de usa regra da cadeia: se então e sua derivada é .
Portanto o segundo termo do produto é.
Combinando, a derivação do lado direito dá:
Passo 5
Isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Voltamos a escrever
como a função original
. Assim obtemos a expressão final da derivada:
válida para
(para garantir que
e tudo seja real).
Exemplo rápido para ver que faz sentido: em temos
, então
e
Exemplo rápido para ver que faz sentido: em
Isso mostra como avaliar a fórmula em um ponto concreto.