Calcule as derivadas das funções a seguir (Use uma tabela de derivadas das funções trigonométricas inversas):
l)
l)
Passo 1
Enunciado: calcular a derivada da função
O que o problema pede: encontrar
, a derivada de
em termos de
.
Informações relevantes fornecidas:
Observação sobre domínio (importante para a definição da derivada do segundo termo):
toma valores em
. Como
exige argumento positivo, a composição
só está definida quando
, ou seja, para
. Também note que em
temos
e
é indefinido.
Passo 2
Relembrando as fórmulas / tabela que vamos usar (cada fórmula com explicação simples):
- Derivada da função exponencial com argumento linear. Se
com constante, então
Aqui
, então
. Explicação: a derivada de
é ela mesma multiplicada pela derivada do expoente (regra da cadeia).
- Regra da cadeia (essencial): se
então
Explicação: derivamos a função externa
avaliando-a na interna
e multiplicamos pela derivada da interna
.
- Derivada do logaritmo natural. Se
com , então
Pelo uso da regra da cadeia,
.
- Derivada da função
. Temos a fórmula padrão (da tabela de derivadas das funções trigonométricas inversas):
Explicação: esta é uma derivada bem conhecida e frequentemente usada em composições.
Vamos aplicar essas fórmulas passo a passo na nossa
.
Passo 3
Derivada do primeiro termo
.
Defina
. Pela regra da cadeia e pela fórmula da exponencial:
Como
, obtemos
Explicação verbal: a derivada de
é o próprio
vezes a derivada do que está no expoente; o expoente
tem derivada
.
Passo 4
Derivada do segundo termo
.
Identificamos uma composição dupla: função externa
e função interna
. Aplicando a regra da cadeia em duas etapas (ou direto como
):
Primeiro escrevemos
Agora usamos a fórmula da derivada de
:
Substituindo,
Ou, arrumando num único quociente,
Observação sobre domínio: esta expressão só faz sentido para
tal que
, ou seja
, e claro
sempre, então a restrição vem só do
.
Passo 5
Somando as derivadas dos dois termos (derivada da soma é soma das derivadas), obtemos
:
Primeiro termo:
.
Segundo termo:
.
Portanto
Dica prática para a prova (resumindo o procedimento): identifique a função externa e a interna, aplique a regra da cadeia; para
sempre pense em “deriva do ln é 1/sendo vezes deriva da arctan”, e para
pense “deriva do expoente vezes a própria exponencial”. Você já tem a resposta; respira fundo, revisa os passos e manda ver!