Calcule as derivadas das funções a seguir (Use uma tabela de derivadas das funções trigonométricas inversas):
l) f(x)=e^{-3 x}+\ln (\arctan (x))

Passo 1

Enunciado: calcular a derivada da função
f(x)=e^{-3 x}+\ln(\arctan(x)).
O que o problema pede: encontrar f'(x), a derivada de f em termos de x.
Informações relevantes fornecidas:
\text{Primeiro termo: } e^{-3x}.
\text{Segundo termo: } \ln(\arctan(x)).
Observação sobre domínio (importante para a definição da derivada do segundo termo): \arctan(x) toma valores em \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right). Como \ln exige argumento positivo, a composição \ln(\arctan(x)) só está definida quando \arctan(x)>0, ou seja, para x>0. Também note que em x=0 temos \arctan(0)=0 e \ln(0) é indefinido.

Passo 2

Relembrando as fórmulas / tabela que vamos usar (cada fórmula com explicação simples):
  1. Derivada da função exponencial com argumento linear. Se u(x)=a x com a constante, então
\frac{d}{dx}e^{u(x)}=u'(x)\,e^{u(x)}.
Aqui u'(x)=a, então \frac{d}{dx}e^{a x}=a e^{a x}. Explicação: a derivada de e^{(\cdot)} é ela mesma multiplicada pela derivada do expoente (regra da cadeia).
  1. Regra da cadeia (essencial): se h(x)=H(U(x)) então
h'(x)=H'(U(x))\cdot U'(x).
Explicação: derivamos a função externa H avaliando-a na interna U(x) e multiplicamos pela derivada da interna U'(x).
  1. Derivada do logaritmo natural. Se H(u)=\ln(u) com u>0, então
H'(u)=\frac{1}{u}.
Pelo uso da regra da cadeia, \frac{d}{dx}\ln(U(x))=\frac{U'(x)}{U(x)}.
  1. Derivada da função \arctan(x). Temos a fórmula padrão (da tabela de derivadas das funções trigonométricas inversas):
\frac{d}{dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Explicação: esta é uma derivada bem conhecida e frequentemente usada em composições.
Vamos aplicar essas fórmulas passo a passo na nossa f(x).

Passo 3

Derivada do primeiro termo \;e^{-3x}.
Defina u(x)=-3x. Pela regra da cadeia e pela fórmula da exponencial:
\frac{d}{dx}e^{-3x}=u'(x)\,e^{u(x)}.
Como u'(x)=-3, obtemos
\frac{d}{dx}e^{-3x}=-3\,e^{-3x}.
Explicação verbal: a derivada de e^{(\cdot)} é o próprio e^{(\cdot)} vezes a derivada do que está no expoente; o expoente -3x tem derivada -3.

Passo 4

Derivada do segundo termo \;\ln(\arctan(x)).
Identificamos uma composição dupla: função externa H(u)=\ln(u) e função interna U(x)=\arctan(x). Aplicando a regra da cadeia em duas etapas (ou direto como \frac{d}{dx}\ln(U(x))=\frac{U'(x)}{U(x)}):
Primeiro escrevemos
\frac{d}{dx}\ln(\arctan(x))=\frac{1}{\arctan(x)}\cdot\frac{d}{dx}\arctan(x).
Agora usamos a fórmula da derivada de \arctan(x):
\frac{d}{dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Substituindo,
\frac{d}{dx}\ln(\arctan(x))=\frac{1}{\arctan(x)}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}.
Ou, arrumando num único quociente,
\frac{d}{dx}\ln(\arctan(x))=\frac{1}{\arctan(x)\,(1+x^{2})}.
Observação sobre domínio: esta expressão só faz sentido para x tal que \arctan(x)>0, ou seja x>0, e claro 1+x^{2}>0 sempre, então a restrição vem só do \ln.

Passo 5

Somando as derivadas dos dois termos (derivada da soma é soma das derivadas), obtemos f'(x):
Primeiro termo: -3\,e^{-3x}.
Segundo termo: \dfrac{1}{\arctan(x)\,(1+x^{2})}.
Portanto
f'(x)=-3\,e^{-3x}+\frac{1}{\arctan(x)\,(1+x^{2})}.
Dica prática para a prova (resumindo o procedimento): identifique a função externa e a interna, aplique a regra da cadeia; para \ln(\arctan x) sempre pense em “deriva do ln é 1/sendo vezes deriva da arctan”, e para e^{-3x} pense “deriva do expoente vezes a própria exponencial”. Você já tem a resposta; respira fundo, revisa os passos e manda ver!

Resposta

f'(x)=-3\,e^{-3x}+\frac{1}{\arctan(x)\,(1+x^{2})}

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