Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
e) f(x)=(\cos x)^{\tan x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f(x)=(\cos x)^{\tan x} usando derivação logarítmica.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é f(x)=(\cos x)^{\tan x}.
  • Para usar logaritmo natural e garantir que tudo seja real, precisamos que \cos x>0 (vou explicitar isso e trabalhar nesse domínio — intervalos do tipo (-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\tfrac{\pi}{2}+2k\pi), k\in\mathbb{Z}).

Passo 2

Ideia da derivação logarítmica (aula rápida): se temos y=f(x)>0, aplicar o logaritmo natural simplifica exponenciações do tipo u(x)^{v(x)}. Tomamos \ln y e diferenciamos: se \ln y = G(x) então, por derivação implícita, \dfrac{y'}{y}=G'(x), portanto y'=y\,G'(x). Aqui y=f(x). Essa técnica evita aplicar diretamente regras complicadas para potência com expoente variável.

Passo 3

Coloco y=f(x)=(\cos x)^{\tan x}. Tomando logaritmo natural dos dois lados:
\ln y=\tan x\cdot \ln(\cos x).

Passo 4

Vou diferenciar ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, por derivada de \ln y (regra da cadeia), obtenho \dfrac{y'}{y}. No lado direito tenho um produto \tan x \cdot \ln(\cos x), então uso a regra do produto: se u(x)v(x) então (uv)'=u'v+uv'. Aqui tomo u(x)=\tan x e v(x)=\ln(\cos x). Assim,
\frac{y'}{y} = (\tan x)'\cdot \ln(\cos x) + \tan x \cdot (\ln(\cos x))'.

Passo 5

Agora calculo as derivadas simples que aparecem:
  • Derivada de \tan x: (\tan x)'=\operatorname{sec}^2 x. Explicação: \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}; diferenciando por quociente ou lembrando a identidade de derivada, obtemos \operatorname{sec}^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}.
  • Derivada de \ln(\cos x): por regra da cadeia, se w(x)=\cos x então (\ln w)'=\dfrac{w'}{w}. Aqui w'=-\sin x, logo
(\ln(\cos x))'=\frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x.

Passo 6

Substituo essas derivadas na expressão do passo 4:
\frac{y'}{y} = \operatorname{sec}^2 x \cdot \ln(\cos x) + \tan x \cdot (-\tan x).
Simplificando o segundo termo:
\frac{y'}{y} = \operatorname{sec}^2 x \,\ln(\cos x) - \tan^2 x.

Passo 7

Multiplico ambos os lados por y para obter y'. Lembrando que y=(\cos x)^{\tan x}, resulta
y'=(\cos x)^{\tan x}\left(\operatorname{sec}^2 x\,\ln(\cos x)-\tan^2 x\right).
Podemos também usar \operatorname{sec}^2 x=1+\tan^2 x se quiser outra forma de simplificação, mas a expressão acima já é uma forma compacta e correta.

Resposta

f'(x)=(\cos x)^{\tan x}\left(\operatorname{sec}^2 x\,\ln(\cos x)-\tan^2 x\right)

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