Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
e)
e)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
usando derivação logarítmica.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é
. - Para usar logaritmo natural e garantir que tudo seja real, precisamos que
(vou explicitar isso e trabalhar nesse domínio — intervalos do tipo , ).
Passo 2
Ideia da derivação logarítmica (aula rápida): se temos
, aplicar o logaritmo natural simplifica exponenciações do tipo
. Tomamos
e diferenciamos: se
então, por derivação implícita,
, portanto
. Aqui
. Essa técnica evita aplicar diretamente regras complicadas para potência com expoente variável.
Passo 3
Coloco
. Tomando logaritmo natural dos dois lados:
Passo 4
Vou diferenciar ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo, por derivada de
(regra da cadeia), obtenho
. No lado direito tenho um produto
, então uso a regra do produto: se
então
. Aqui tomo
e
. Assim,
Passo 5
Agora calculo as derivadas simples que aparecem:
-
Derivada de
: . Explicação: ; diferenciando por quociente ou lembrando a identidade de derivada, obtemos . -
Derivada de
: por regra da cadeia, se então . Aqui , logo
Passo 6
Substituo essas derivadas na expressão do passo 4:
Simplificando o segundo termo:
Passo 7
Multiplico ambos os lados por
para obter
. Lembrando que
, resulta
Podemos também usar
se quiser outra forma de simplificação, mas a expressão acima já é uma forma compacta e correta.