Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
k)
k)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
usando derivação logarítmica, sendo a função
Informações dadas e observações iniciais:
- A função é da forma
com e . - Para aplicar
em precisamos que , ou seja, (isso é a condição para trabalhar com logaritmo real aqui; a derivada obtida vale no domínio onde a expressão está bem definida).
Passo 2
Ideia da derivação logarítmica (explicação didática): quando temos uma função na forma
é mais simples tomar logaritmo e transformar a potência em produto, porque é mais fácil derivar um produto do que uma potência com expoente variável. Vamos aplicar isso aqui definindo
Tomamos logaritmo natural dos dois lados:
Usando a identidade
(válida quando
), obtemos
Passo 3
Agora vamos derivar ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo usamos a regra da cadeia para
:
. No lado direito temos um produto
, então usamos a regra do produto:
regra do produto: se então
.
Aplicando isso:
regra do produto: se
Aplicando isso:
Passo 4
Calculemos cada derivada que aparece:
-
. - Para
usamos a regra da cadeia: se então . Aqui e . Portanto
Observação:
, portanto podemos escrever a derivada como
.
Passo 5
Substituindo as derivadas no passo anterior na expressão para
, temos
Usando a notação com cotangente fica mais compacto:
Passo 6
Finalmente isolamos
multiplicando ambos os lados por
. Lembrando que
, obtemos a derivada procurada:
Esse é o resultado final válido no domínio onde
.