Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
k) f(x)=(\sin (2 x))^{\cos x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f usando derivação logarítmica, sendo a função
f(x)=(\sin(2x))^{\cos x}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é da forma g(x)^{h(x)} com g(x)=\sin(2x) e h(x)=\cos x.
  • Para aplicar \ln em g(x) precisamos que g(x)>0, ou seja, \sin(2x)>0 (isso é a condição para trabalhar com logaritmo real aqui; a derivada obtida vale no domínio onde a expressão está bem definida).

Passo 2

Ideia da derivação logarítmica (explicação didática): quando temos uma função na forma g(x)^{h(x)} é mais simples tomar logaritmo e transformar a potência em produto, porque é mais fácil derivar um produto do que uma potência com expoente variável. Vamos aplicar isso aqui definindo
y=f(x)=(\sin(2x))^{\cos x}.
Tomamos logaritmo natural dos dois lados:
\ln y = \ln\big((\sin(2x))^{\cos x}\big).
Usando a identidade \ln(a^b)=b\ln a (válida quando a>0), obtemos
\ln y = \cos x\cdot \ln(\sin(2x)).

Passo 3

Agora vamos derivar ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo usamos a regra da cadeia para \ln y: \dfrac{d}{dx}\ln y = \dfrac{y'}{y}. No lado direito temos um produto \cos x \cdot \ln(\sin(2x)), então usamos a regra do produto:
regra do produto: se u(x)v(x) então (uv)'=u'v+uv'.
Aplicando isso:
\frac{y'}{y} = \frac{d}{dx}\big(\cos x\big)\cdot \ln(\sin(2x)) + \cos x \cdot \frac{d}{dx}\big(\ln(\sin(2x))\big).

Passo 4

Calculemos cada derivada que aparece:
  • \dfrac{d}{dx}\big(\cos x\big) = -\sin x.
  • Para \dfrac{d}{dx}\big(\ln(\sin(2x))\big) usamos a regra da cadeia: se v(x)=\ln(u(x)) então v'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}. Aqui u(x)=\sin(2x) e u'(x)=\cos(2x)\cdot 2 = 2\cos(2x). Portanto
\frac{d}{dx}\big(\ln(\sin(2x))\big)=\frac{2\cos(2x)}{\sin(2x)}.
Observação: \dfrac{\cos(2x)}{\sin(2x)}=\cot(2x), portanto podemos escrever a derivada como 2\cot(2x).

Passo 5

Substituindo as derivadas no passo anterior na expressão para \dfrac{y'}{y}, temos
\frac{y'}{y} = -\sin x \cdot \ln(\sin(2x)) + \cos x \cdot \frac{2\cos(2x)}{\sin(2x)}.
Usando a notação com cotangente fica mais compacto:
\frac{y'}{y} = -\sin x \ln(\sin(2x)) + 2\cos x\cot(2x).

Passo 6

Finalmente isolamos y' multiplicando ambos os lados por y. Lembrando que y=f(x)=(\sin(2x))^{\cos x}, obtemos a derivada procurada:
y' = (\sin(2x))^{\cos x}\Big(-\sin x \ln(\sin(2x)) + 2\cos x\cot(2x)\Big).
Esse é o resultado final válido no domínio onde \sin(2x)>0.

Resposta

f'(x)=(\sin(2x))^{\cos x}\Big(-\sin x \ln(\sin(2x)) + 2\cos x\cot(2x)\Big)

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