Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
l) f(x)=\left(x^{\ln x}\right)^{\sin x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\left(x^{\ln x}\right)^{\sin x}
e pede a sua derivada f'(x). Informações relevantes fornecidas:
\;x aparece dentro de \ln x, portanto o domínio natural onde a função está definida é x>0.
O objetivo é calcular \;f'(x)\; usando derivação logarítmica.

Passo 2

Por que usar derivação logarítmica? Aqui a variável x aparece tanto na base quanto no expoente — esse tipo de expressão fica bem mais simples se tomarmos logaritmo do lado esquerdo e do direito antes de derivar. A ideia básica da derivação logarítmica é:
se y=f(x)>0, então \ln y é uma função mais simples; ao derivar temos
\frac{y'}{y} = \frac{d}{dx}\big(\ln y\big).
Ou seja, depois de achar \frac{d}{dx}(\ln y) basta multiplicar por y para obter y'. Isso evita fazer regras de potência complicadas diretamente.

Passo 3

Primeiro simplificamos a função usando a propriedade de potências (a^{b})^{c}=a^{bc}. Assim
f(x)=\left(x^{\ln x}\right)^{\sin x}=x^{\sin x\cdot \ln x}.
Agora definimos y=f(x) e tomamos logaritmo:
y = x^{\sin x\ln x}
\ln y = \sin x\;(\ln x)^2.
Note que usei a regra \ln\big(x^{A}\big)=A\ln x com A=\sin x\ln x, o que resulta em \sin x\cdot(\ln x)^2.

Passo 4

Vamos derivar ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, por regra da cadeia,
\frac{d}{dx}(\ln y)=\frac{y'}{y}.
No lado direito temos a função produto \sin x\cdot(\ln x)^2. Aplicamos a regra do produto: se u(x)=\sin x e v(x)=(\ln x)^2, então
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u' v + u v'.
Calculamos cada derivada:
u'=\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x,
v=(\ln x)^2,
v'=\frac{d}{dx}\big((\ln x)^2\big)=2\ln x\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=2\ln x\cdot\frac{1}{x}=\frac{2\ln x}{x}.
Portanto a derivada do lado direito é
\frac{d}{dx}\big(\sin x\;(\ln x)^2\big)=\cos x\;(\ln x)^2+\sin x\;\frac{2\ln x}{x}.

Passo 5

Igualando as duas derivadas obtemos
\frac{y'}{y}=\cos x\;(\ln x)^2+\sin x\;\frac{2\ln x}{x}.
Agora multiplicamos ambos os lados por y para encontrar y':
y' = y\left(\cos x\;(\ln x)^2+\frac{2\sin x\ln x}{x}\right).

Passo 6

Voltando à função original y=f(x)=x^{\sin x\ln x} (ou \left(x^{\ln x}\right)^{\sin x}), substituímos y na expressão anterior. Assim uma forma final da derivada é
f'(x)=x^{\sin x\ln x}\left(\cos x\;(\ln x)^2+\frac{2\sin x\ln x}{x}\right).
Se preferir, podemos fatorar \ln x para uma forma alternativa:
f'(x)=x^{\sin x\ln x}\,\ln x\left(\cos x\;\ln x+\frac{2\sin x}{x}\right).

Resposta

f'(x)=x^{\sin x\ln x}\left(\cos x\;(\ln x)^2+\frac{2\sin x\ln x}{x}\right)

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