Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
l)
’
l)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a sua derivada
. Informações relevantes fornecidas:
aparece dentro de
, portanto o domínio natural onde a função está definida é
.
O objetivo é calcular usando derivação logarítmica.
O objetivo é calcular
Passo 2
Por que usar derivação logarítmica? Aqui a variável
aparece tanto na base quanto no expoente — esse tipo de expressão fica bem mais simples se tomarmos logaritmo do lado esquerdo e do direito antes de derivar. A ideia básica da derivação logarítmica é:
se , então
é uma função mais simples; ao derivar temos
se
Ou seja, depois de achar
basta multiplicar por
para obter
. Isso evita fazer regras de potência complicadas diretamente.
Passo 3
Primeiro simplificamos a função usando a propriedade de potências
. Assim
Agora definimos
e tomamos logaritmo:
Note que usei a regra
com
, o que resulta em
.
Passo 4
Vamos derivar ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo, por regra da cadeia,
No lado direito temos a função produto
. Aplicamos a regra do produto: se
e
, então
Calculamos cada derivada:
Portanto a derivada do lado direito é
Passo 5
Igualando as duas derivadas obtemos
Agora multiplicamos ambos os lados por
para encontrar
:
Passo 6
Voltando à função original
(ou
), substituímos
na expressão anterior. Assim uma forma final da derivada é
Se preferir, podemos fatorar
para uma forma alternativa: