Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
j)
’
j)
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
dada por
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é
. - Precisamos encontrar
, a derivada em relação a .
Observação importante sobre domínio (informação útil para a resolução): para queseja bem definida como número real para todo real, normalmente consideramos . Portanto, a resolução a seguir assume .
Passo 2
Vamos introduzir a técnica que vamos aplicar (explico passo a passo): derivação logarítmica consiste em tomar o logaritmo natural de ambos os lados da igualdade
. Isso transforma potências onde a base e o expoente dependem de
em produtos, que são mais fáceis de derivar. Seja
Tomamos o logaritmo natural dos dois lados:
Propriedade usada:
quando
. Aqui
e
.
Passo 3
Aplicando a propriedade do logaritmo:
Agora simplificamos
. Lembre que
e
, então
Substituindo:
Passo 4
Agora diferenciamos implicitamente em relação a
ambos os lados da igualdade
.
Esquema usado:
Esquema usado:
- Derivada de
em relação a é (regra da cadeia; aqui depende de ). - No lado direito temos um produto
; usaremos a regra do produto: .
Aplicando:
Calculemos a derivada do lado direito passo a passo. Seja
e
. Então
Aqui usei
. Simplificando:
Portanto
Passo 5
Isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Podemos reorganizar o sinal para ficar mais “bonito”:
Outra forma equivalente, usando
, é
Passo 6
Pequena verificação numérica simbólica para ganhar confiança (exemplo): em
temos
. A fórmula dá
o que parece consistente. Também lembramos que a expressão só é válida para
, onde usamos
.