Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
j) f(x)=\left(\frac{1}{x}\right)^{x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função f dada por
f(x)=\left(\frac{1}{x}\right)^{x}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é f(x)=\left(\dfrac{1}{x}\right)^{x}.
  • Precisamos encontrar f'(x), a derivada em relação a x.
    Observação importante sobre domínio (informação útil para a resolução): para que \left(\dfrac{1}{x}\right)^{x} seja bem definida como número real para todo x real, normalmente consideramos x>0. Portanto, a resolução a seguir assume x>0.

Passo 2

Vamos introduzir a técnica que vamos aplicar (explico passo a passo): derivação logarítmica consiste em tomar o logaritmo natural de ambos os lados da igualdade y=f(x). Isso transforma potências onde a base e o expoente dependem de x em produtos, que são mais fáceis de derivar. Seja
y=f(x)=\left(\frac{1}{x}\right)^{x}.
Tomamos o logaritmo natural dos dois lados:
\ln y = \ln\!\left(\left(\frac{1}{x}\right)^{x}\right).
Propriedade usada: \ln(a^{b}) = b\ln a quando a>0. Aqui a=\dfrac{1}{x} e b=x.

Passo 3

Aplicando a propriedade do logaritmo:
\ln y = x \ln\!\left(\frac{1}{x}\right).
Agora simplificamos \ln\!\left(\dfrac{1}{x}\right). Lembre que \ln\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=\ln 1 - \ln x e \ln 1=0, então
\ln\!\left(\frac{1}{x}\right) = -\ln x.
Substituindo:
\ln y = x \cdot (-\ln x) = -x\ln x.

Passo 4

Agora diferenciamos implicitamente em relação a x ambos os lados da igualdade \ln y = -x\ln x.
Esquema usado:
  • Derivada de \ln y em relação a x é \dfrac{y'}{y} (regra da cadeia; aqui y depende de x).
  • No lado direito temos um produto -x\ln x; usaremos a regra do produto: \dfrac{d}{dx}[u\cdot v]=u'v+uv'.
    Aplicando:
\frac{y'}{y} = \frac{d}{dx}\bigl(-x\ln x\bigr).
Calculemos a derivada do lado direito passo a passo. Seja u(x)=-x e v(x)=\ln x. Então
\frac{d}{dx}(-x\ln x) = (-1)\cdot \ln x + (-x)\cdot \frac{1}{x}.
Aqui usei \dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x}. Simplificando:
\frac{d}{dx}(-x\ln x) = -\ln x - 1.
Portanto
\frac{y'}{y} = -\ln x - 1.

Passo 5

Isolamos y' multiplicando ambos os lados por y:
y' = y\bigl(-\ln x - 1\bigr).
Lembrando que y=f(x)=\left(\dfrac{1}{x}\right)^{x}, substituímos de volta:
y' = \left(\frac{1}{x}\right)^{x}\bigl(-\ln x - 1\bigr).
Podemos reorganizar o sinal para ficar mais “bonito”:
y' = -\bigl(1+\ln x\bigr)\left(\frac{1}{x}\right)^{x}.
Outra forma equivalente, usando \left(\dfrac{1}{x}\right)^{x}=x^{-x}, é
y' = -\bigl(1+\ln x\bigr)x^{-x}.

Passo 6

Pequena verificação numérica simbólica para ganhar confiança (exemplo): em x=1 temos f(1)=\left(\dfrac{1}{1}\right)^{1}=1. A fórmula dá
f'(1) = -\bigl(1+\ln 1\bigr)\left(\frac{1}{1}\right)^{1} = -(1+0)\cdot 1 = -1,
o que parece consistente. Também lembramos que a expressão só é válida para x>0, onde usamos \ln x.

Resposta

f'(x) = -\bigl(1+\ln x\bigr)\left(\frac{1}{x}\right)^{x}.

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