Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
r) f(x)=\frac{x^{5 / 2} \cdot e^{x^{2}+1} \cdot\left(x^{3}+2\right)}{\left(x^{2}+5\right) \cdot e^{x^{3}}}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada de f(x) usando derivação logarítmica, onde a função dada é
f(x)=\frac{x^{5/2}\cdot e^{x^{2}+1}\cdot\left(x^{3}+2\right)}{\left(x^{2}+5\right)\cdot e^{x^{3}}}.
Informações relevantes fornecidas:
\text{numerador: }x^{5/2},\; e^{x^{2}+1},\; (x^{3}+2).
\text{denominador: }(x^{2}+5),\; e^{x^{3}}.
A tarefa é aplicar derivação logarítmica (ou seja, tomar logaritmo, diferenciar implicitamente e voltar para f'(x)) e obter f'(x).

Passo 2

Por que usar derivação logarítmica? Quando uma função é produto/razão de potências, exponenciais e fatores complicados, tomar o logaritmo transforma produtos em soma e razões em subtração, tornando a diferenciação mais simples. A técnica: tomar \ln dos dois lados, diferenciar ambos os lados em relação a x (usando regra da cadeia e derivada de log) e isolar f'(x) por f'(x)=f(x)\cdot (\text{derivada de }\ln f).
Começo aplicando \ln em \,f(x):
\ln f(x)=\ln\!\left(\frac{x^{5/2}\cdot e^{x^{2}+1}\cdot(x^{3}+2)}{(x^{2}+5)\cdot e^{x^{3}}}\right).
Uso propriedades do logaritmo: \ln(ab)=\ln a+\ln b, \ln(a/b)=\ln a-\ln b, \ln(u^n)=n\ln u, e \ln(e^{g(x)})=g(x). Aplicando:
\ln f(x)=\ln x^{5/2}+\ln e^{x^{2}+1}+\ln(x^{3}+2)-\ln(x^{2}+5)-\ln e^{x^{3}}.
Agora simplifico cada termo:
\ln f(x)=\frac{5}{2}\ln x + (x^{2}+1) + \ln(x^{3}+2) - \ln(x^{2}+5) - x^{3}.

Passo 3

Agora vou diferenciar ambos os lados em relação a x. Lembre que a derivada de \ln f(x) é \dfrac{f'(x)}{f(x)} (regra da cadeia). Então:
\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{d}{dx}\!\left(\frac{5}{2}\ln x\right) + \frac{d}{dx}(x^{2}+1) + \frac{d}{dx}\ln(x^{3}+2) - \frac{d}{dx}\ln(x^{2}+5) - \frac{d}{dx}x^{3}.
Calculo cada derivada separadamente, explicando as regras usadas:
  • \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{5}{2}\ln x\right)=\dfrac{5}{2}\cdot \dfrac{1}{x}=\dfrac{5}{2x}, pois \dfrac{d}{dx}\ln x=1/x.
  • \dfrac{d}{dx}(x^{2}+1)=2x.
  • \dfrac{d}{dx}\ln(x^{3}+2)=\dfrac{(x^{3}+2)'}{x^{3}+2}=\dfrac{3x^{2}}{x^{3}+2} (regra: (\ln u)'=u'/u).
  • \dfrac{d}{dx}\ln(x^{2}+5)=\dfrac{2x}{x^{2}+5}, assim o termo com sinal negativo vira -\dfrac{2x}{x^{2}+5}.
  • \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}, com sinal negativo dá -3x^{2}.
Reunindo:
\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{5}{2x} + 2x + \frac{3x^{2}}{x^{3}+2} - \frac{2x}{x^{2}+5} - 3x^{2}.

Passo 4

Agora isolamos f'(x) multiplicando ambos os lados por f(x):
f'(x)=f(x)\left(\frac{5}{2x} + 2x + \frac{3x^{2}}{x^{3}+2} - \frac{2x}{x^{2}+5} - 3x^{2}\right).
Lembre: f(x) é a função original dada, então substituo sua expressão explícita para deixar f'(x) em termos de x somente.

Passo 5

Substituindo f(x)=\dfrac{x^{5/2}\,e^{x^{2}+1}\,(x^{3}+2)}{(x^{2}+5)\,e^{x^{3}}} na expressão de f'(x), obtenho:
f'(x)=\frac{x^{5/2}\,e^{x^{2}+1}\,(x^{3}+2)}{(x^{2}+5)\,e^{x^{3}}}\left(\frac{5}{2x} + 2x + \frac{3x^{2}}{x^{3}+2} - \frac{2x}{x^{2}+5} - 3x^{2}\right).
Se quiseres, dá para cancelar um pouco (por exemplo o termo \dfrac{5}{2x} com x^{5/2} reduziria a potência), mas não é necessário para a resposta final e às vezes torna a expressão menos imediata de ler na prova.

Resposta

f'(x)=\frac{x^{5/2}\,e^{x^{2}+1}\,(x^{3}+2)}{(x^{2}+5)\,e^{x^{3}}}\left(\frac{5}{2x} + 2x + \frac{3x^{2}}{x^{3}+2} - \frac{2x}{x^{2}+5} - 3x^{2}\right).

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