Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
r)
’
r)
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada de
usando derivação logarítmica, onde a função dada é
Informações relevantes fornecidas:
A tarefa é aplicar derivação logarítmica (ou seja, tomar logaritmo, diferenciar implicitamente e voltar para
) e obter
.
Passo 2
Por que usar derivação logarítmica? Quando uma função é produto/razão de potências, exponenciais e fatores complicados, tomar o logaritmo transforma produtos em soma e razões em subtração, tornando a diferenciação mais simples. A técnica: tomar
dos dois lados, diferenciar ambos os lados em relação a
(usando regra da cadeia e derivada de log) e isolar
por
.
Começo aplicando
em
:
Uso propriedades do logaritmo:
,
,
, e
. Aplicando:
Agora simplifico cada termo:
Passo 3
Agora vou diferenciar ambos os lados em relação a
. Lembre que a derivada de
é
(regra da cadeia). Então:
Calculo cada derivada separadamente, explicando as regras usadas:
-
, pois . -
. -
(regra: ). -
, assim o termo com sinal negativo vira . -
, com sinal negativo dá .
Reunindo:
Passo 4
Agora isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Lembre:
é a função original dada, então substituo sua expressão explícita para deixar
em termos de
somente.
Passo 5
Substituindo
na expressão de
, obtenho:
Se quiseres, dá para cancelar um pouco (por exemplo o termo
com
reduziria a potência), mas não é necessário para a resposta final e às vezes torna a expressão menos imediata de ler na prova.