Use a derivação logarítmica para determinar \frac{d y}{d x} :
y=(x+3)^{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = (x+3)^{x^{2}}
em que tanto a base quanto o expoente dependem de x. Para funções nesse formato, a técnica mais eficiente é a derivação logarítmica, pois ela transforma potência variable–variable em produto, facilitando o uso da regra do produto e da cadeia.

Passo 2

Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados. Definindo \ln y, temos
\ln y = \ln\bigl((x+3)^{x^{2}}\bigr).
Pela propriedade dos logaritmos de potência, isso vira
\ln y = x^{2}\,\ln(x+3).

Passo 3

Agora derivamos implicitamente em relação a x. Do lado esquerdo, usando a regra da cadeia, \frac{d}{dx}[\ln y] = \frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}. Do lado direito, há um produto x^{2}\cdot\ln(x+3), então aplicamos a regra do produto:
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\bigl[x^{2}\bigr]\cdot\ln(x+3) + x^{2}\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x+3)\bigr].
Calculando cada termo:
\frac{d}{dx}\bigl[x^{2}\bigr] = 2x, \qquad \frac{d}{dx}\bigl[\ln(x+3)\bigr] = \frac{1}{x+3}.
Logo,
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = 2x\,\ln(x+3) + x^{2}\,\frac{1}{x+3}.

Passo 4

Isolamos \frac{dy}{dx} multiplicando ambos os lados por y. Lembrando que y=(x+3)^{x^{2}}, obtemos
\frac{dy}{dx} = y\Bigl(2x\,\ln(x+3) + \frac{x^{2}}{x+3}\Bigr) = (x+3)^{x^{2}}\Bigl(2x\,\ln(x+3) + \frac{x^{2}}{x+3}\Bigr).

Resposta

\frac{dy}{dx} = (x+3)^{x^{2}}\Bigl(2x\,\ln(x+3) + \frac{x^{2}}{x+3}\Bigr).

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