Use a derivação logarítmica para determinar \frac{d y}{d x} :
f(x)=(x+1)^{\cos x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de \displaystyle f(x)=(x+1)^{\cos x} usando derivação logarítmica. O conteúdo envolve aplicar a função logaritmo natural para simplificar a diferenciação de uma base dependente de x elevada a um expoente também dependente de x. Vamos precisar da regra da cadeia, da regra do produto e das derivadas de \ln u, de \cos x e de \ln(x+1).

Passo 2

Definimos y=f(x), ou seja
y=(x+1)^{\cos x}.
Tomamos o logaritmo natural em ambos os lados para “trazer o expoente para frente”:
\ln y = \ln\bigl((x+1)^{\cos x}\bigr) = \cos x\;\ln(x+1).

Passo 3

Diferenciamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo, por regra da cadeia,
\frac{d}{dx}[\ln y]=\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}.
No lado direito usamos regra do produto em \cos x\cdot\ln(x+1):
\frac{d}{dx}[\cos x\;\ln(x+1)] =\frac{d}{dx}[\cos x]\;\ln(x+1)+\cos x\;\frac{d}{dx}[\ln(x+1)].
Como \tfrac{d}{dx}[\cos x]=-\,\sin x e \tfrac{d}{dx}[\ln(x+1)]=\tfrac{1}{x+1}, obtemos
\frac{d}{dx}[\cos x\;\ln(x+1)] =-\sin x\;\ln(x+1)+\cos x\;\frac{1}{x+1}.

Passo 4

Igualando as duas derivadas:
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} =-\sin x\;\ln(x+1)+\frac{\cos x}{x+1}.
Multiplicando por y e lembrando que y=(x+1)^{\cos x}, concluímos
\frac{dy}{dx} =(x+1)^{\cos x}\Bigl(-\sin x\;\ln(x+1)+\frac{\cos x}{x+1}\Bigr).

Resposta

\frac{dy}{dx} =(x+1)^{\cos x}\Bigl(\frac{\cos x}{x+1}-\sin x\;\ln(x+1)\Bigr).

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