Verifique, em cada caso, se cada um dos subconjuntos W é um subespaço vetorial de V.
V=\mathbb{R}^{3}, W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / x \geq 0\right\}

Passo 1

O enunciado fornece V = \mathbb{R}^3 e o subconjunto
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x \ge 0\}.
Para que W seja subespaço vetorial de V, é preciso verificar:
  1. que o vetor zero está em W,
  2. que W é fechado sob adição,
  3. que W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero está em W.
O vetor zero em \mathbb{R}^3 é (0,0,0), cuja primeira componente é 0 e 0 \ge 0.
Logo, (0,0,0) \in W.

Passo 3

Testamos a adição. Sejam
u = (x_1,y_1,z_1)\in W,\quad v = (x_2,y_2,z_2)\in W.
Então x_1\ge0 e x_2\ge0. A soma é
u+v = (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Como x_1+x_2 \ge 0, segue que u+v\in W. Assim, W é fechado sob adição.

Passo 4

Testamos a multiplicação por escalar. Seja u=(x,y,z)\in W com x\ge0 e tome \alpha\in\mathbb{R}.
\alpha\,u = (\alpha x,\;\alpha y,\;\alpha z).
Se \alpha<0 e x>0, então \alpha x<0, isto é, \alpha u\notin W. Portanto, W não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

W não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3, pois falha em ser fechado sob multiplicação por escalar.

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