Use a desigualdade triangular para provar que
|x| \leq 1 \Longrightarrow|x-3| \geq 2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sempre que \lvert x\rvert\le1, vale \lvert x-3\rvert\ge2. O conteúdo que vamos usar é a forma reversa da desigualdade triangular, que afirma que para quaisquer reais a e b temos
\lvert a-b\rvert \ge \bigl\lvert \lvert a\rvert - \lvert b\rvert \bigr\rvert.

Passo 2

Aplicamos essa forma com a=3 e b=x. Assim,
\lvert 3 - x\rvert \ge \bigl\lvert \lvert 3\rvert - \lvert x\rvert \bigr\rvert.

Passo 3

Como \lvert 3\rvert = 3 e a hipótese é \lvert x\rvert \le 1, segue
\bigl\lvert 3 - \lvert x\rvert \bigr\rvert = 3 - \lvert x\rvert \ge 3 - 1 = 2.

Passo 4

Portanto
\lvert x - 3\rvert = \lvert 3 - x\rvert \ge 3 - \lvert x\rvert \ge 2,
que é exatamente a desigualdade desejada.

Resposta

A desigualdade está provada: se \lvert x\rvert \le 1, então \lvert x-3\rvert \ge 2.

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