Escreva as expressões seguintes em formas equivalente que não envolvam valores absolutos.
a+b+2 c+|a-b|+|a+b-2 c+|a-b||

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a expressão
E = a + b + 2c + \lvert a - b\rvert + \bigl\lvert a + b - 2c + \lvert a - b\rvert\bigr\rvert
sem valores absolutos. O conteúdo aqui é manipular casos de sinais de expressões lineares e eliminar as barras de módulo por meio de definição de função valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, definimos
\alpha = a - b.
Temos dois casos para \lvert \alpha\rvert:
  • Se \alpha\ge0, isto é, a\ge b, então \lvert a-b\rvert = a-b.
  • Se \alpha<0, isto é, a< b, então \lvert a-b\rvert = b-a.
Em cada caso, calculamos a expressão interna
X = a + b -2c + \lvert a - b\rvert
e depois \lvert X\rvert.

Passo 3

Caso a\ge b:
\lvert a-b\rvert = a-b, \quad X = a + b -2c + (a-b) = 2a - 2c = 2(a-c),
\lvert X\rvert = 2\lvert a-c\rvert,
logo
E = a+b+2c + (a-b) + 2\lvert a-c\rvert = 2a + 2c + 2\lvert a-c\rvert = 2\bigl(a + c + \lvert a-c\rvert\bigr).
Caso a< b:
\lvert a-b\rvert = b-a, \quad X = a + b -2c + (b-a) = 2b - 2c = 2(b-c),
\lvert X\rvert = 2\lvert b-c\rvert,
logo
E = a+b+2c + (b-a) + 2\lvert b-c\rvert = 2b + 2c + 2\lvert b-c\rvert = 2\bigl(b + c + \lvert b-c\rvert\bigr).

Passo 4

Agora eliminamos o último valor absoluto em cada ramo, analisando o sinal de a-c ou de b-c:
  1. Se a\ge b e a\ge c, então \lvert a-c\rvert = a-c e
    E = 2\bigl(a + c + (a-c)\bigr) = 2\cdot 2a = 4a.
  2. Se a\ge b e a< c, então \lvert a-c\rvert = c-a e
    E = 2\bigl(a + c + (c-a)\bigr) = 2\cdot 2c = 4c.
  3. Se a< b e b\ge c, então \lvert b-c\rvert = b-c e
    E = 2\bigl(b + c + (b-c)\bigr) = 2\cdot 2b = 4b.
  4. Se a< b e b< c, então \lvert b-c\rvert = c-b e
    E = 2\bigl(b + c + (c-b)\bigr) = 2\cdot 2c = 4c.

Passo 5

Observamos que em cada caso E = 4 vezes o maior entre a,b,c. Logo, de forma unificada,
E = 4\,\max(a,b,c).

Resposta

E = 4\,\max(a,b,c).

Exercícios relacionados